Lo que dice en el título. ¿Si $$I=\int_{2/\pi}^{+\infty }\ln\left({\cos\left({\frac{1}{x} }\right) }\right) \, \mathrm dx,$$ how could I proceed in order to find the value of $ I$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Mediante un cambio de variable y un hecho bien conocido: $$I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\log\cos x}{x^2}\,dx=2\sum_{k\geq 1}\frac{(-1)^k}{k}\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{\sin(kx)}{x}\right)^2\,dx\tag{1}$ $ pero desde: %#% $ de #% tenemos: $$ \cos x = \prod_{n\geq 0}\left(1-\frac{4x^2}{(2n+1)^2\pi^2}\right)\tag{2}$ $ para el RHS de $$ \log \cos x = -\sum_{n\geq 0}\sum_{m\geq 1}\frac{4^m x^{2m}}{m(2n+1)^{2m}\pi^{2m}}=-\sum_{m\geq 1}\frac{(4^m-1)\zeta(2m)}{m\,\pi^{2m}}x^{2m}\tag{3}$ también es igual a: %#% $ #% que es una serie rápidamente convergente.