El polidisco no es biholomorfo a ningún dominio estrictamente pseudoconvexo

Question

Quiero probar el polidisco $P=\left\{z\in \mathbb{C}^2 : |z_1|<1,|z_2|<1\right\}$ no es biholomorfo a ningún dominio estrictamente pseudoconvexo en $\mathbb{C}^2.$ ¿Alguien puede dar una pista?

Answer 1

Esto no es del todo trivial, y faltan algunos detalles en el esquema de abajo, pero esencialmente el argumento es el siguiente.

Supongamos que $F : P\to D$ es biholomorfo, donde $D\subset {\Bbb C}^2$ es estrictamente pseudoconvexo, y considera que $F$ hace a los discos $\{z_1\}\times \Delta$ como $|z_1|\to 1$ . Utilice un argumento de subsecuencia para demostrar que puede encontrar secuencias $$F(z_1^{(k)},\cdot) :\Delta\to D$$ con $|z_1^{(k)}|\to 1$ que convergen a alguna holomorfa $\phi : \Delta \to \overline D$ . Argumentar que $\phi$ debe mapa $\Delta$ en el límite $\partial D$ y utilizar la pseudoconvexidad estricta para demostrar que $\phi$ debe ser constante. Para una cantidad fija de $z_2$ ya que $${\partial F\over\partial z_2}(z_1^{(k)},z_2)\to \phi'(z_2)=(0,0)$$ como $k\to\infty$ el mapa ${\partial F\over \partial z_2}(\cdot,z_2) : \Delta\to{\Bbb C}^2$ puede ampliarse de forma continua hasta $\overline\Delta$ con valores límite cero. De ello se desprende que ${\partial F\over \partial z_2}(\cdot,z_2)\equiv 0$ en $\Delta$ lo que significa que $F(z_1,z_2)$ es independiente de $z_2$ . Esto contradice la inyectividad de $F$ .