Mapa conforme entre $\mathbb{C}\setminus((-\infty, -1]\cup[1,\infty))$ y $\{z \in \mathbb{C} \mid 0 < \operatorname{Im}(z) < 7\}$

Question

Como dice el título, estoy buscando un mapa conformado de $\mathbb{C}\setminus((-\infty, -1]\cup[1,\infty))$ a $\{z \in \mathbb{C} \mid 0 < \operatorname{Im}(z) < 7\}$ pero con la siguiente restricción en las componentes de la frontera: $(-\infty, -1]$ se asigna a $\operatorname{Im}(z) = 7$ y $[1, \infty)$ se asigna a $\operatorname{Im}(z) = 0$ .

Hasta ahora he sido capaz de mapear $\mathbb{C}\setminus((-\infty, -1]\cup[1,\infty))$ a $\{w \in \mathbb{C} \mid 0 < \operatorname{Im}(w) < 7\}$ pero no sé si los componentes de la frontera se asignan a sus contrapartes de la manera deseada. He utilizado la siguiente secuencia de mapas (nota, la rama del logaritmo es siempre la que tiene argumento $(0, 2\pi)$ ):

• $z \mapsto\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{z - 1}$ mapas $\mathbb{C}\setminus((-\infty, -1]\cup[1,\infty))$ a $\mathbb{H}\setminus\{bi \mid b \in [1, \infty)\}$ .

• $z \mapsto \dfrac{z-i}{z+i}$ mapas $\mathbb{H}\setminus\{bi \mid b \in [1, \infty)\}$ a $\mathbb{D}\setminus[0, 1)$ .

• $z \mapsto \sqrt{z}$ mapas $\mathbb{D}\setminus[0, 1)$ a la mitad superior del disco.

• $z \mapsto z + \frac{1}{z}$ mapea el medio disco superior al medio plano inferior.

• $z \mapsto \log z$ mapea el medio plano inferior a $\{z \in \mathbb{C} \mid \pi < \operatorname{Im}(z) < 2\pi\}$ .

• $z \mapsto \frac{7}{\pi}(z - \pi i)$ mapas $\{z \in \mathbb{C} \mid \pi < \operatorname{Im}(z) < 2\pi\}$ a $\{z \in \mathbb{C} \mid 0 < \operatorname{Im}(z) < 7\}$ .

El después de aplicar el primer y segundo mapa, $(-\infty, -1]$ se asigna a $[0, 1)$ . ¿Qué ocurre con este componente de la frontera en el tercer mapa? Parece que debería permanecer sin cambios, pero geométricamente parece que debería ser mapeado a $(-1, 1)$ .

¿Existe un enfoque alternativo a este problema que facilite ver lo que ocurre con los componentes de la frontera?

Obsérvese que si pudiéramos construir un mapa como el deseado, excepto que intercambiara los componentes de los límites, podríamos definir un nuevo mapa (post)componiendo con el mapa $z \mapsto 7 - z$ este nuevo mapa tendría entonces todas las propiedades deseadas.

Answer 1

Como dijo Mike Miller, hay que pensar en las rendijas de los límites como "curvas de dos lados", y los mapas conformes son aptos para dividir los dos lados: formalmente, pueden tener diferentes límites de los límites dependiendo de la dirección de aproximación al mismo punto límite. El ejemplo más sencillo de $z\mapsto \sqrt{z}$ cartografía $\mathbb C\setminus (-\infty,0]$ en el semiplano: dos lados del semieje negativo van en dos lugares diferentes.

Para su problema, yo empezaría por $$z\mapsto \frac{1+z}{1-z}$$ que transforma el dominio en $\mathbb C\setminus (-\infty,0]$ . Los dos trozos de frontera están separados por el punto $-1$ (viene de $\infty$ que los separaba en el dominio original).

A continuación, la raíz cuadrada en el semiplano derecho; las dos piezas están separadas por $\pm i$ La primera es la que se encuentra entre $\pm i$ y uno está fuera. Utiliza una transformación lineal fraccionaria para enviarlos a $0$ y $\infty$ : $$z\mapsto \frac{z+i}{z-i}$$ Esto fue una preparación para aplicar el logaritmo. El logaritmo rompe el límite del semiplano en $0$ , enviando dos partes a dos lados de la tira infinita. Ahora sólo queda la cosmética: mover la tira donde se quiera.

Answer 2

La función seno mapea la franja $\{z\in \mathbb{C}\mid |\operatorname{Re}(z)|<\tfrac{\pi}{2}\}$ biholomórficamente en $\mathbb{C}\setminus \{x\in \mathbb{R}\mid |x|\geq 1\}$ . Así que empieza con $z\mapsto\arcsin(z)$ y componer con una transformación lineal adecuada.