Diferente ley de los cosenos usando el seno en su lugar: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\sqrt{1-\sin^2(\theta)}$

Question

Jugando con Trig y la Ley de los Cosenos (LoC), llegué a esta fórmula dado un triángulo con lados $a$ , $b$ , $c$ donde se nos da $a$ , $b$ y el ángulo $\theta$ entre ellos:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\sqrt{1-\sin^2(\theta)}$$

Lejos de mí la idea de que podría haber tropezado con algo que nadie ha derivado antes, pero nunca he visto esta fórmula y sólo tenía curiosidad por saber si tiene un nombre o si nunca se tiene en cuenta porque no ofrece ninguna ventaja sobre el LoC (necesitando la misma cantidad de información inicial) y es ligeramente más complicado.

Además, ¿es correcta mi prueba?

Aquí está mi trabajo; aquí uso $C$ para el ángulo:

$$c^2 = x^2 + h^2$$

$$h = a \sin(C)$$

$$h^2 = a^2 \sin^2(C)$$

$$x = b - (b-x)$$

$$(b-x) = \sqrt{a^2 - h^2} = \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2(C)} = \sqrt{a^2 (1-\sin^2(C))}$$

$$x = b-a\sqrt{1-\sin^2(C)}$$

$$x^2 = b^2 - 2ab \sqrt{1-\sin^2(C)} + a^2 (1-\sin^2(C))$$

Por lo tanto:

$$c^2 = b^2 - 2ab \sqrt{1-\sin^2(C)} + a^2 (1-\sin^2(C)) + a^2 \sin^2(C)$$

$$c^2 = b^2 - 2ab \sqrt{1-\sin^2(C)} + a^2 (1-\sin^2(C) + \sin^2(C))$$

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \sqrt{1-\sin^2(C)}$$

Answer 1

La suya es la misma que la regla del coseno. Recordemos que $$c^2 = a^2+b^2-2ab\cos(C)$$ Ahora bien, tenga en cuenta que si $C$ es agudo, tenemos entonces que $\cos(C) = \sqrt{1-\sin^2(C)}$ . Por lo tanto, obtenemos $$c^2 = a^2+b^2-2ab\sqrt{1-\sin^2(C)}$$ Su prueba está bien, aunque tenga en cuenta que si $\angle{C}$ fuera a ser obtuso, entonces escribir $x$ como $b+(x-b)$ sería la forma correcta de hacerlo.

Answer 2

Debido a la naturaleza de la raíz cuadrada creo que esta ecuación que tienes es menos útil que la Ley de Cosenos "habitual". Tenemos que $$c^2 = a^2+b^2-2ab\cos(\theta_c)$$ donde $\theta_c$ es el ángulo opuesto al lado del triángulo $c$ . Por el Teorema de Pitágoras también sabemos $$\sin^2(\theta_c)+\cos^2(\theta_c) = 1$$ y resolviendo para $\cos(\theta_c)$ nos lleva $\cos(\theta_c) = \sqrt{1-\sin^2(\theta_c)}$ Por lo tanto, en un solo paso podemos llegar a la ecuación que tienes, $$c^2 = a^2+b^2-2ab\sqrt{1-\sin^2(\theta_c)}$$ Sin embargo, también sabemos que $\cos(\theta_c)$ será negativo cuando $\pi/2 < \theta_c <3\pi/2$ , mientras que $\sqrt{1-\sin^2(\theta_c)}$ será siempre no negativo. Por lo tanto, tendrías que hacer casos para que tu ecuación sea exacta. $$c^2 = a^2+b^2-2ab\sqrt{1-\sin^2(\theta_c)} \quad \text{when} \space -\pi/2 \leq \theta_c \leq \pi/2$$ y $$c^2 = a^2+b^2+2ab\sqrt{1-\sin^2(\theta_c)} \quad \text{when} \space \pi/2 < \theta_c <3\pi/2$$ En este punto parece más razonable evitar los casos y utilizar la Ley de Cosenos "habitual".

Answer 3

Realmente esto se reduce a la identidad $$\cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}$$ Así que no, tu fórmula no es realmente diferente de la Ley de los cosenos. Sin embargo, tu prueba parece estar bien.

Habiendo creído encontrar una nueva ley trigonométrica una vez ( y ser incorrecto ), mi consejo sería agotar siempre su resultado para cualquier identidad conocida para ver si simplemente tiene otra representación de una ley o expresión conocida. Recursos como Wolfram Alpha puede ayudar en los casos más fáciles.

Answer 4

Enhorabuena, has llegado correctamente a la regla del coseno. No te preocupes si ya la conoces. Después de obtener lo que parece ser un nuevo resultado tómate un pequeño descanso, consulta las fuentes estándar.