Teorema de convergencia dominada de general Lebesgue

Question

En Royden (4ª edición), se dice que uno puede demostrar que el General Lebesgue Teorema de Convergencia Dominada por una simple sustitución de $g-f_n$$g+f_n$$g_n-f_n$$g_n+f_n$. Me puse a hacer esto, pero siento que la prueba es incorrecta.

Así que aquí está la declaración:

Deje $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ ser una secuencia de funciones medibles en $E$ que convergen pointwise una.e. en $E$$f$. Supongamos que hay una secuencia $\{g_n\}$ de funciones integrables en $E$ que convergen pointwise una.e. en $E$ $g$tal que $|f_n| \leq g_n$ todos los $n \in \mathbb{N}$. Si $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}$ $\int_E$ $g_n$ = $\int_E$ $g$, entonces $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}$ $\int_E$ $f_n$ = $\int_E$ $f$.

Prueba:
$$\int_E (g-f) = \liminf \int_E g_n-f_n.$$

Por la linealidad de la integral:

$$\int_E g - \int_E f = \int_E g-f \leq \liminf \int_E g_n -f_n = \int_E g - \liminf \int_E f_n.$$

Así,

$$\limsup \int_E f_n \leq \int_E f.$$

Lo mismo para el otro.

Me estoy perdiendo un paso o es realmente un caso simple de sustitución.

Answer 1

Desde $|f_n| \leq g_n$ todos los $n$ y $f_n$ ($g_n$ respectivamente) convergen pointwise una.e. en $E$ a $f$ ($g$ respectivamente), tenemos $|f|\leq g$ pointwise una.e. en $E$. Por lo tanto, para todos los $n$ hemos $$|f_n-f|\leq g_n+g$$ pointwise una.e. en $E$. Ahora aplicar Fatou Lema para el nonegative función de $g_n+g-|f_n-f|$, tenemos $$\liminf_{n\rightarrow\infty}\int_E(g_n+g-|f_n-f|)\geq\int_E\liminf_{n\rightarrow\infty}(g_n+g-|f_n-f|).$$ El lado derecho es igual a $$\int_E\liminf_{n\rightarrow\infty}(g_n+g-|f_n-f|)=2\int_Eg,$$ desde $f_n$ ($g_n$ respectivamente) convergen pointwise una.e. en $E$ a $f$ ($g$ respectivamente). Por otro lado, el lado izquierdo es igual a $$\liminf_{n\rightarrow\infty}\int_E(g_n+g-|f_n-f|)=2\int_Eg-\limsup_{n\rightarrow\infty}\int_E|f_n-f|$$ desde $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}\int_Eg_n=\int_Eg$ por supuesto. Ahora poniendo todos estos juntos, podemos obtener $$0\geq\limsup_{n\rightarrow\infty}\int_E|f_n-f|.$$ Desde $\displaystyle\int_E|f_n-f|\geq\Big|\int_Ef_n-f\Big|$, por la desigualdad anterior tenemos $$0\geq\limsup_{n\rightarrow\infty}\Big|\int_E(f_n-f)\Big|\geq\liminf_{n\rightarrow\infty}\Big|\int_Ef_n-f\Big|\geq 0.$$ Por encima de la igualdad, $\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}\Big|\int_E(f_n-f)\Big|=\liminf_{n\rightarrow\infty}\Big|\int_E(f_n-f)\Big|$, es decir, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\Big|\int_E(f_n-f)\Big|$ existe. Por otra parte, por encima de la igualdad, de nuevo, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\Big|\int_E(f_n-f)\Big|=0$, lo que implica $$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_Ef_n=\int_Ef,$$ como se requiere.

Answer 2

Has cometido un error: $$\liminf \int (g_n-f_n) = \int g-\limsup \int f_n$ $ no $$\liminf \int (g_n-f_n) = \int g-\liminf \int f_n.$ $

Aquí está la prueba:

$$\int (g-f)\leq \liminf \int (g_n-f_n)=\int g -\limsup \int f_n$$

lo que significa que

$$\limsup \int f_n\leq \int f$$

También

$$\int (g+f)\leq \liminf \int(g_n+f_n)=\int g + \liminf \int f_n$$

lo que significa que

$$\int f\leq \liminf \int f_n$$

es decir

$$\limsup \int f_n\leq \int f\leq \liminf\int f_n\leq \limsup \int f_n$$

Por lo que son todos iguales.