Tiene problemas para entender una ecuación de la serie infinita

Question

He estado pasando algunas series de notas de mi conferencia y se atascó en esta igualdad: $$\left(\sum_{j=0}^\infty\frac{z^j}{j!}\right)\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{w^k}{k!}\right)=\sum_{n=0}^\infty\sum_{j=0}^n\frac{z^jw^{n-j}}{j!(n-j)!}$ $ donde $z,w\in\mathbb C$.

En lugar de una prueba, estoy buscando para una manera de entender esta igualdad, por lo que la próxima vez que veo algo similar ir "oh, bien, sé". Ahora sólo tengo ideas vagas de por qué eso sería cierto.

¡Gracias un montón por cualquier ayuda!

Answer 1

Este es un ejemplo del cambio de orden de suma (reagrupando términos). Formalmente (sin preocuparse por convergencia), el producto $$\begin{align} \left(\sum_{i=0}^\infty a_i\right)\left(\sum_{j=0}^\infty b_j\right) &=\sum_{i=0}^\infty\sum_{j=0}^\infty a_ib_j\tag{1}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=0}^k a_{k-j}b_j\tag{2} \end {Alinee el} $$ $(1)$ es la multiplicación distribuye sobre la adición.

$(2)$ es un cambio de variables: $i+j=k$

Cada producto en $(1)$ aparece una vez y otra sólo en $(2)$.

Answer 2

$$ (1+2+3+4+\cdots)\cdot\left(\begin{array} {} & \text{one} \\[6pt] + & \text{two} \\[6pt] + & \text{three} \\[6pt] + & \text{four} \\[6pt] + & \cdots \end{array}\right) $$ $$ = \sum \left [\begin{array}{cccc} 1\cdot\text{one}, & 2\cdot\text{one}, & 3\cdot\text{one}, & 4\cdot\text{one}, & \cdots\\[6pt] 1\cdot\text{two}, & 2\cdot\text{two}, & 3\cdot\text{two}, & 4\cdot\text{two}, & \cdots\\[6pt] 1\cdot\text{three}, & 2\cdot\text{three}, & 3\cdot\text{three}, & 4\cdot\text{three}, & \cdots\\[6pt] 1\cdot\text{four}, & 2\cdot\text{four}, & 3\cdot\text{four}, & 4\cdot\text{four}, & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matriz} \right] $$\begin{align} & = \cdots\cdots\cdots +\sum\left[ \begin{array}{cccc} \cdot & \cdot & 3\cdot\text{one}, & \cdot & \cdots\\[6pt] \cdot & 2\cdot\text{two}, & \cdot & \cdot & \cdots\\[6pt] 1\cdot\text{three}, & \cdot & \cdot & \cdot & \cdots\\[6pt] \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matriz} \right] \\[18pt] y {} \qquad\qquad\qquad{}+ \sum\left [\begin{array}{cccc} \cdot & \cdot & \cdot & 4\cdot\text{one}, & \cdots\\[6pt] \cdot & \cdot & 3\cdot\text{two}, & \cdot & \cdots\\[6pt] \cdot & 2\cdot\text{three}, & \cdot & \cdot & \cdots\\[6pt] 1\cdot\text{four}, & \cdot & \cdot & \cdot & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matriz} \right] + \cdots\cdots\cdots \end{align}

Answer 3

Multiplicando el $j$ término de la izquierda con el término de #% de #% % a la derecha le $k$. Ahora si $\dfrac{z^j w^k}{j! k!}$, esto es $j+k=n$. Desde $\dfrac{z^j w^{n-j}}{j! (n-j)!}$ y $j$ pueden ser cualquier no negativos números enteros, lo mismo es cierto para $k$. Dadas $n$, $n$ puede ser cualquier entero de $j$ $0$.

Answer 4

Dada la serie puede ser escrita

$=e^z e^w =e^{z+w}=\sum_{n=0}^\infty =\sum \sum....$