Calcular el número de pequeños cubos que componen el cubo grande dado el número en la capa más externa

Question

Tengo un gran cubo formado por muchos cubos más pequeños. Cada cara del cubo es idéntica y todos los cubos más pequeños son idénticos. Necesito calcular el número de cubos pequeños que forman el gran cubo. Solo para dejarlo claro, el cubo es sólido (compuesto por pequeños cubos en todo su interior).

El único valor del que dispongo para calcular esto es el número de cubos pequeños que forman la capa más externa. Este número es $100,614,152$.

¿Cuál es la forma más sencilla de calcular el total de cubos pequeños que forman el gran cubo?

Answer 1

Deja que el gran cubo tenga una dimensión de $(x+2)$ (compuesto por $(x+2)^3$ cubos más pequeños). Entonces $(x+2)^3-x^3=100,614,152$. Esto se reduce a una ecuación cuadrática que puedes resolver.

Answer 2

Sea $x$ el número de cubos pequeños a lo largo de cada borde del cubo grande. Entonces cada cara del cubo grande contiene $x^2$ cubos pequeños. Sin embargo, $6x^2$ no es el número total de cubos alrededor del exterior, ya que estamos contando dos veces los cubos a lo largo de cada borde, por lo que necesitamos restar $12x$. Luego, no estamos contando los cubos en las esquinas (los contamos tres veces, una vez en cada cara, y los restamos tres veces), por lo que necesitamos agregar 8. Por lo tanto, tenemos $$6x^2 -12x + 8 = 100,614,152.$$ Ahora esto es solo un simple cuadrático. Combina los términos en un lado y usa la fórmula cuadrática (o Wolfram Alpha) para encontrar que $x = 4096$.

Answer 3

Si un gran cubo se divide en $n$ veces cubos más pequeños, entonces hay $n^3$ cubos. Quitando la capa exterior, nos quedan $(n-2)^3$ cubos. La diferencia es $$ n^3-(n-2)^3= n^3-(n^3-6n^2+12n-8)=6n^2-12n+8$$ y esto debe ser igual a $N=100614152$. Por lo tanto, una buena aproximación para $n$ está dada por $$n=\sqrt {\frac N 6}\approx 4095.0004$$ Sin embargo, $n=4095$ da como resultado $6n^2-12n+8=100565018$, no el resultado esperado. Pero con $n=4096$, el resultado es correcto: $6n^2-12n+8=100614152$.

Nota que intentar calcular la solución de $$6n^2-12n+(8- 100614152)$$ no hubiera sido fácil debido a errores de redondeo.

Answer 4

Que el tamaño del cubo pequeño sea de $1 \times 1 \times 1$ y el tamaño del cubo más grande sea de $n \times n \times n$. El número de cubos más pequeños en la superficie exterior se da por $$\underbrace{2n^2}_{\text{Cubrir dos lados opuestos}} + \underbrace{2n(n-2)}_{\text{Cubrir el siguiente par de lados opuestos}} + \underbrace{2(n-2)^2}_{\text{Cubrir el par restante de lados opuestos}}$$

Answer 5

El recuento total de cubos aumenta a medida que se agregan más y más cubos alrededor de un cubo existente. cada "nivel" se define como completar la adición de una capa entera de cubos concéntricos que rodean el nivel anterior.

el nivel 0 no tiene cubos en absoluto

el nivel 1 es UN cubo

el nivel 2 rodea al nivel 1 con otros 8, 9 cubos en total en cada uno de los 3 planos, total = 27

el nivel 3 rodea los 9 en l-2 con otros 16, total de 25 cubos en cada uno de los 5 planos, total = 125

el nivel 4 rodea los 25 en l-3 con otros 24, total de 49 cubos en cada uno de los 7 planos, total = 343

el nivel 5 rodea los 49 en l-4 con otros 32, total de 81 cubos en cada uno de los 9 planos, total = 729

etc...

estos números, 0, 1, 27, 125, 343, 729 representan el recuento total de cubos en cualquier nivel concéntrico dado. llamémoslo CC_T_n que significa Count of Cubes _ Total _ at level n.

descubrí que:

CC_T_n = ((n * 2) - 1) ^ 3

estamos interesados en el recuento de cubos necesarios para rodear un bloque más pequeño de cubos; ¡exactamente lo que estoy haciendo aquí! llamémoslo CC_OL_n que significa Count of Cubes _ Outer Layer _ at level n.

si lo piensas, esto será igual al recuento total de cubos en cualquier bloque en el nivel n menos el recuento total de cubos en el bloque en el nivel n - 1; ¿por qué? ¡porque, el recuento total en el nivel n - 1 es el recuento de bloques que el recuento en el nivel n debe cubrir!

por lo tanto, CC_OL_n = CC_T_n - CC_T_n-1, que es igual a:

(((n * 2) - 1) ^ 3) - ((((n - 1) * 2) - 1) ^ 3)

trabajando esto a través de los niveles consecutivos, obtuve los siguientes resultados:

l-0 CC_T_0 = 0

l-1 CC_T_1 = 1, CC_OL_1 = 1

l-2 CC_T_2 = 27, CC_OL_2 = 26

l-3 CC_T_3 = 125, CC_OL_3 = 98

l-4 CC_T_4 = 343, CC_OL_4 = 218

l-5 CC_T_5 = 729, CC_OL_5 = 386

l-6 CC_T_6 = 1331, CC_OL_6 = 602

l-7 CC_T_7 = 2197, CC_OL_7 = 866

etc...

escribí la siguiente cadena en google:

1,26,98,218,386,602,866

y encontré un sitio web que categoriza diversas secuencias numéricas. tenía una referencia a un tipo llamado Xavier Acloque con un comentario "Números de cubos necesarios para cubrir completamente otro cubo".

marty wollner thetruth-machine.com