Demostrar que si una función $f: X\to Y$ continua entonces su gráfica es cerrada

Question

El gráfico de $f$ es $G(f) = \{(x,f(x)) : x\in X\} \subseteq X\times Y$

$X$ y $Y$ son espacios métricos.

a) Supongamos $f$ es continua y demostrar que $G(f)$ es un conjunto cerrado.

b) Supongamos que $G(f)$ es compacto y demostrar que $f$ es continuo

Para a), la definición de conjunto cerrado que me viene a la cabeza es la de un conjunto que contiene todos sus puntos límite (¿o eran puntos de acumulación?), ¿hay otra definición equivalente que pueda ser más útil para demostrar a)? ¿Es posible demostrarlo directamente? Porque a primera vista la única forma que se me ocurre de demostrarlo es por contradicción o contrapositiva.

Imagino que la prueba de b) se derivará inmediatamente de a).

Answer 1

A) Que $(z_n)=(x_n,f(x_n))$ sea una secuencia convergente de $G(f)$ . Si $(x,y)$ es su límite, demuestre que $y=f(x)$ .

b) Que $x\in X$ y $(x_n)$ una secuencia convergente con límite $x$ . Tienes que demostrar que $(f(x_n))$ es convergente en $Y$ con límite $f(x)$ . Utilice la secuencia $z_n=(x_n,f(x_n))$ y utilizar el hecho de que $G(f)$ es compacto para demostrar que $(f(x_n))$ tiene $f(x)$ como punto de acumulación. Entonces demuestre que cualquier subsecuencia de $(f(x_n))$ tiene $f(x)$ como punto de acumulación.

Answer 2

Pista: Para (a), todo espacio métrico es Hausdorff, el resultado es frue para cualquier espacio Hausdorff $Y$ . Elija cualquier (x,y)\Nen $X\times Y\setminus G(f)$ . Entonces $x\in X$ y $y\ne f(x)$ . Utilizar la condición de Hausdorff en $Y$ .

Answer 3

Queremos demostrar que toda secuencia que converge en $X\times Y$ tiene un límite en $G(f)$ .

Una secuencia $(x_n, y_n)$ converge a $(x, y)$ si y sólo si $x_n\rightarrow x$ y $y_n\rightarrow y$ .

Tenga en cuenta que $(x_n, y_n)\in N_\epsilon(x, y)\implies(x_n)\in N_\epsilon(x) $ y $(y_n)\in N_\epsilon(y)$ respectivamente.

Por el contrario, si $x_n \in N_{\epsilon/2}(x)$ y $y_n \in N_{\epsilon/2}(y)$ entonces $(x_n, y_n)\in N_\epsilon(x, y)$ .

Así que ahora vemos que si $(x_n, y_n)\in G(f)$ , $(x_n,y_n) \rightarrow (x,y)$ entonces $y_n\rightarrow f(x_n)$ según la definición de $G(f)$ y $x_n \rightarrow x, f(x_n)\rightarrow y.$

Desde $f$ se supone que es continua, $f(x_n)\rightarrow f(x)$ así que $y=f(x)$ . Por lo tanto, $(x,y)\in G(f)$ y concluimos $G(f)$ está cerrado.