Probabilidad de que cada número obtenido al lanzar un dado no sea menor que el anterior

Question

Se lanza un dado justo 4 veces. Encuentra la probabilidad de que cada número obtenido no sea menor que el anterior.

1. Si todos los números obtenidos son iguales, el número de tales resultados $$=\dbinom{6}{1}=6$$
2. Si los 3 números obtenidos son iguales, el número de formas es igual al número de formas de elegir dos números cualesquiera $=\dbinom{6}{2}$ . Pero estos dos números se pueden ordenar como $x,y,y,y$ o $x,x,x,y$ donde $x<y$ . Así que $$2\times\dbinom{6}{2}$$
3. Si 2 números son iguales, los casos son $a_1<a_2<a_3=a_4$ , $a_1<a_2=a_3<a_4$ , $a_1=a_2<a_3<a_4$ , $a_1=a_2<a_3=a_4$ . Número de formas $$=3\times\dbinom{6}{3}+\dbinom{6}{2}$$
4. si los 4 números son diferentes, $$\dbinom{6}{4}$$

Número total de posibilidades $=6^4$ .

Aunque tengo la respuesta correcta, ¿hay algún método más corto?

Answer 1

Ya que usted quiere un método abreviado,
contar el número de formas $4$ las bolas pueden colocarse en $6$ cubos marcados $1-6$ , utilizando estrellas y barras

Tenga en cuenta que cada uno de los $\binom{4+6-1}{6-1}$ los resultados así obtenidos sólo pueden dar una secuencia no decreciente.

Un resultado de $\;\;\fbox{2}\fbox{0}\fbox{0}\fbox{1}\fbox{0}\fbox{1}\;$ , por ejemplo, significa obtener $1-1-4-6$ en secuencia.

Así, $Pr = \dfrac{\binom95}{6^4}$

Answer 2

No, parece que esa es la forma más concisa de hacerlo.

Contar maneras de elegir $n\in\{1,2,3,4\}$ números únicos, y para organizarlos con $n-1$ " $>$ ", para cumplir los criterios.

$$\begin{array}{|l:l|} \hline \rm a{=}a{=}a{=}a & \dbinom 3 0 \dbinom 6 1 \\\hdashline\rm a{=}a{=}a{>}b , a{=}a{>}b{=}b, a{>}b{=}b{=}b & \dbinom 3 1\dbinom 6 2 \\\hdashline\rm a{=}a{>}b{>}c, a{>}b{=}b{>}c, a{>}b{>}c{=}c & \dbinom 3 2 \dbinom 6 3 \\\hdashline\rm a{>}b{>}c{>}d & \dbinom 3 3 \dbinom 6 4 \\ \hline\end{array}$$

$$\dfrac{\sum_{n=1}^4 \dbinom{3}{n-1}\dbinom{6}{n}}{6^4} = \dfrac{\dbinom 6 1 + 3\dbinom 6 2 + 3 \dbinom 6 3 + \dbinom 6 4}{6^4}$$

Answer 3

El problema se reduce a encontrar la cardinalidad del siguiente conjunto $$A=\{(a_1,a_2,a_3,a_4)\in\{1,\ldots,6\}^4: \ a_1\leq a_2\leq a_3 \leq a_4\}.$$ Definir $$B=\{(a_1,a_2,a_3,a_4)\}\in\{1,\ldots 9\}^4: \ a_1 < a_2 < a_3 < a_4\}$$ y $$f:A\to B, \quad f(a_1,a_2,a_3,a_4) = (a_1,a_2+1,a_3+2,a_4+3).$$ Desde $f$ es una biyección obtenemos que $$|A|=|B|={9 \choose 4}.$$

Answer 4

Si una secuencia de resultados es no decreciente, entonces está completamente caracterizada por el número de veces que ocurre cada resultado. Sea $x_k$ sea el número de veces que el resultado $k$ aparece en los cuatro lanzamientos, donde $1 \leq k \leq 6$ . Entonces $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_4 + x_6 = 4$$ que es una ecuación en los enteros no negativos. Una solución particular en los enteros no negativos corresponde a colocar cinco signos de adición en una fila de cuatro unos. Por ejemplo, $$+ + 1 + 1 1 + + 1$$ corresponde a la secuencia de lanzamientos $(3, 4, 4, 6)$ , mientras que $$1 + 1 + + 1 + 1 +$$ corresponde a la secuencia de lanzamientos $(1, 2, 4, 5)$ . El número de estas soluciones es el número de maneras en que se pueden insertar cinco signos de adición en una fila de cuatro unos, que es $$\binom{4 + 5}{5} = \binom{9}{5}$$ ya que debemos seleccionar qué cinco de los nueve símbolos (cinco signos de adición y cuatro unos) serán signos de adición.

Dado que el número total de secuencias posibles es $6^4$ la probabilidad de que la secuencia de resultados sea no decreciente cuando se lanza un dado justo cuatro veces es $$\frac{\binom{9}{5}}{6^4}$$

Answer 5

Contemos el número de formas en que esto es posible.

Supongamos que entre cada lanzamiento de dados, el número que aparece en el dado aumenta en una determinada cantidad. Tenga en cuenta que, como sólo estamos contando el número de resultados favorables, esta es una suposición válida. Hay $3$ lugares entre los lanzamientos de los dados donde puede producirse este aumento. Pero el lanzamiento inicial también puede producir un número mayor que uno, y el último también puede producir un número menor que seis. Por lo tanto, añadimos $2$ más lugares para el aumento: antes de la primera tirada y después de la última. Obtenemos el siguiente diagrama:

(Comienza en $1$ )

Aumentar $\#1$

Tirada del dado $\#1$

Aumentar $\#2$

Tirada del dado $\#2$

Aumentar $\#3$

Tirada del dado $\#3$

Aumentar $\#4$

Tirada del dado $\#4$

Aumentar $\#5$

(Fin en $6$ )

Hay $5$ puntos de aumento, y $5$ unidades de aumento de $1$ a $6$ . Por lo tanto, la respuesta es igual al número de formas de distribución $5$ objetos similares en $5$ cajas distintas. Para este problema, la fórmula es $\binom{5+5-1}{5-1} = \binom94 = 126$ Así que el número de resultados favorables es $126$ .

Los resultados totales posibles son $6^4 = 1296$

$$\frac{126}{1296}=\frac7{72}$$

Crédito: Keyur Joshi (en Quora)