Tengo una cúbica polinomial, $x^3-12x+2$ y cuando trato de encontrar sus raíces con la mano, obtener dos raíces complejas y una real. Mismo, si usar Mathematica. Pero, cuando la gráfica, cruza el eje x en tres puntos, así que si un cúbicos cruza el eje x tres puntos, puede tener raíces imaginarias, creo que no, pero podría equivocarme.
Respuestas
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Hagen von Eitzen
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Un cúbico tiene (contando multiplicidad) exactamente tres raíces en $\mathbb C$. Por lo tanto si ya tiene tres raíces reales, entonces eso es todo.
Una rápida comprobación muestra que el derivado tiene raíces $\pm2$ y que el cúbico es positivo en $-2$, en $+2$ y por supuesto va de $-\infty$ $+\infty$ $x$ igual. Por lo tanto incluso sin trazado, podemos concluir que hay tres raíces reales por cuenta de los cambios de signo.
Fly by Night
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Las tres raíces son, aproximadamente, $z = -3.545$, $0.167$ o $3.378$.
Un corolario del teorema fundamental del álgebra es que cúbico tiene, cuando contados con su multiplicidad, exactamente tres raíces sobre los números complejos. Si su cúbicos tiene tres raíces reales, entonces no tendrá ninguna otra raíces.
Lo he comprobado en la trama, y tienes razón: hay tres raíces reales. Todo lo que puedo pensar es que tal vez haya cometido un error al sustituir a su complejo de "raíz" en la ecuación. Tal vez usted podría publicar la raíz y podemos comprobarlo.
Otra cosa que hay que convencer de que hay un error. Deje $z= r_1,r_2,r_3$ ser las tres raíces reales. Si $z=c$ es su complejo de raíz, entonces el conjugado $z = \overline{c}$ debe ser también una raíz. Por lo tanto:
$$z^3-12z+2 = (z-r_1)(z-r_2)(z-r_3)(z-c)(z-\overline{c}) \, . $$
Colgar en! Eso significa que su cúbicos ecuación comienza $z^5 + \cdots$ y no es un cúbicos, después de todo. Contradicción! Ya sea que no tiene tres raíces reales, o su complejo de "root" no es una raíz, después de todo.
Ten en cuenta que los programas de ordenador uso de soluciones numéricas y obtener errores de redondeo.
11Kilobytes
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Desde que tengo no una copia de Mathematica conmigo ahora mismo, enviaré un enlace a los resultados de Wolfram Alpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x3%E2%88%9212x%2B2+%3D+0, que son los mismos que los resultados de Mathematica, de Wolfram Alpha usa Mathematica como un motor computacional.
Tim Monahan
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Puede haber conseguido la respuesta $\sqrt[3]{(-3i\sqrt{7}-1)}+ \sqrt[3]{(3i\sqrt{7}-1)}$ cuando se calcula a mano. Las tres soluciones reales puede ser presentado de la siguiente manera, redondeado como parece que este cúbicos ecuación no puede ser capaz de resolver con los radicales $$(-1.772303408...+i0.9267905...)+(-1.772303408...-i0.9267905...)=-3.544...$$
$$(0.083527587...+i1.998255024...)+(0.083527587...-i1.998255024...)=.1670...$$
$$(1.688775821...+i1.071464524...)+(1.688775821...-i1.071464524...)=3.377...$$
Cada uno de los anteriores números en paréntesis es una raíz cúbica de $$\sqrt[3]{(-3i\sqrt{7}-1)}$$ and $$\sqrt[3]{(3i\sqrt{7}-1)}$$ respectively. You can see that each $Im(z)$ cancelar para llegar al número real de solución. Creo que esto se llama casus irreducibilis que puedes consultar en la Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis. Usted puede ver un método para calcular el cubo de las raíces de estos anidada cúbicos radicales en el Intercambio de la Pila Pregunta 16331.
