¿Cada $\epsilon >0$, si $a+\epsilon >b$, puede concluir $a>b$?

Question

¿Si $a+\epsilon > b$ por cada $\epsilon >0$, se puede concluir que $a>b$?

Por favor me ayude a aclarar lo anterior. Gracias de antemano.

Answer 1

No, usted no puede: cada $\epsilon>0$ verdad que $1+\epsilon>1$, pero no verdad que $1>1$. Qué se puede concluir es que $a\ge b$. Para ver esto, supongamos que $a<b$ y que $\epsilon=b-a$; entonces $\epsilon>0$, $a+\epsilon=a+(b-a)=b\not>b$, contradiciendo la hipótesis. Así, él debe ser el caso que $a\ge b$.