Variedades por cuádricas

Question

¿Hay una caracterización de la clase de variedades que pueden ser descritos como una intersección de cuádricas, aparte de la taulogical uno?

Muchas variedades se presentan de esta manera (mis ejemplos favoritos son las variedades Grassmanianns y Schubert y algunas variedades tóricas) y me pregunto hasta qué punto puede una sola vez.

Answer 1

De hecho, la respuesta es en cierto modo tautológica: cada variedad proyectiva puede ser observado como una esquema de teoría de conjuntos intersección de cuádricas. Véase por ejemplo

D. Mumford, "Variedades definidas por ecuaciones cuadráticas", preguntas sobre variedades algebraicas, C.I.M.E. Varenna, 1969, Cremonese (1970) pp. 29 – 100,

para refinamientos cuantitativos de esta pregunta.

Answer 2

Como Pete ya se ha indicado, Mumford del teorema dice que para cualquier variedad proyectiva $X\subset \mathbb P^n$, su Veronese emberdding $v_d(X)\subset \mathbb P^N$ se corta por quadrics, para $d\gg0$. Así que una pregunta razonable es de la variedad, con un fijo proyectiva incrustación de objetos (tales como Grassmannians en la Desplumadora de inclusión y no en algún otro aleatorio incrustación de objetos).

Para este último más significativo pregunta, muchos "combinatoria" racional variedades, tales como Grassmannians, Schubert variedades (como usted ha señalado), la bandera de variedades, determinantal variedades, etc., se cortan por quadrics.

Para los "no-combinatoria", no racional variedades, la más clásica resultado es de Petri del teorema: una superficie lisa y no hyperelliptic curva de género $g\ge 4$ en su canónica de la incrustación se corta por quadrics, con las excepciones de trigonal curvas y plano quintics.

Hay una gran generatization de esta propiedad: $X\subset \mathbb P^n$ satisface la propiedad $N_p$ si la primera sicigias de su homogénea ideal $I_X$ es una suma directa de $\mathcal O(2)$, el segundo sicigias es una suma directa de $\mathcal O(3)$, etc., el $p$-th sicigias es una suma directa de $\mathcal O(p+1)$. En este lenguaje, $X$ se corta por quadrics es equivalente a la propiedad $N_1$.

1984 Verde de la conjetura es que una suave nonhyperelliptic curva satisface $N_p$ $p=Cliff(X)-1$ donde $Cliff(X)$ es de Clifford de $X$. Esto ha sido demostrado por medicamentos genéricos curvas de cualquier género por Voisin (en característicos 0; es falso en característica positiva).

Otro caso notable: el ideal de la $2\times 2$ menores de un $p\times q$ matriz tiene la propiedad $N_{p+q-3}$.

Answer 3

Como Pete L. Clark dice, si usted puede Veronese su línea de paquete, a continuación, la respuesta es "a todos ellos".

Así que una pregunta más interesante puede ser: para que las variedades M hace cada amplia línea de paquete de dar una incrustación de objetos definidos por quadrics?

La mejor condición suficiente lo que sé es que MxM tener un Frobenius la división de w.r.t. que la diagonal es compatible split. Ver Brion y Kumar libro sobre la división de Frobenius, y Sam Payne del artículo, que trata de la tóricas caso. La primera muestra que es cierto lo de la bandera de los colectores, y la segunda que no es cierto para todos Schubert variedades.

Answer 4

Parece imposible dar una respuesta mejor que Pete L. Clark, pero los transeúntes pueden apreciar un boceto de la prueba.

Si $X \subset \mathbb P^n$ es una variedad proyectiva, entonces es la intersección de un número finito de hypersurfaces de grado en la mayoría de las $k$. Si tenemos en cuenta el natural de morfismos de$\mathbb P^n$$\mathbb P H^0(\mathbb P^n,\mathcal O_{\mathbb P^n}(k))^{\ast}$, entonces la imagen de a $X$ será la intersección de la imagen de $\mathbb P^n$ con un número finito de hyperplanes.

Ser la imagen de $\mathbb P^n$ sí una intersección de quadrics, se sigue que cualquier variedad proyectiva puede ser expresado como la intersección de quadrics y hyperplanes.

Una versión más condensada de la discusión anterior también se puede encontrar aquí.

Answer 5

Aquí es fácil con manos en forma de definir cualquier variedad, ya que de ser cortado por quadrics. Escriba su variedad como el cero, el locus de un montón de polinomios. Marca cada monomio que se produce en cualquiera de estos polinomios y que tiene un grado mayor que dos. Vamos a añadir nuevas variables y de nuevo las ecuaciones cuadráticas a su vez que monomio en un grado dos monomio. Por ejemplo, si el monomio $x y^2$ se produce en uno de los polinomios , agregar una nueva variable $z$ y añadir la ecuación de $z = xy$. A continuación, volver a escribir todas las apariciones de $xy^2$ en cualquiera de sus polinomios como $zy$. Para tomar otro ejemplo, si el monomio $x^5$ se produce, a continuación, añadir dos nuevas variables, decir $u$$v$, junto con los dos nuevos quadric ecuaciones $u = x^2$ $v = u^2$ , y la de reemplazar todas las apariciones de $x^5$$xv$. Sólo seguir realizando un seguimiento de nuevas variables, y de nuevo las ecuaciones hasta que te has convertido en todo su original monomials en tanto, cuadrática, lineal o monomials. Ahora que tienes tu variedad sentado en un espacio mucho más grande, debido a todas las nuevas variables, pero su definición de polinomios ahora son todos cuadrática más lineal.
(Si no te gusta los términos lineales derivadas , jugar a la homogeneización de juego.)

Aprendí este truco en algunos de dos páginas de papel por un ruso que muestra todas las compactas colector
diffeomorphic a uno definido por las ecuaciones cuadráticas. Ese papel a su vez está relacionado con un teorema atribuido a Milnor (o Thurston) la afirmación de que cada colector puede ser realizado por planar vínculos. Lo siento, no tenemos las referencias.