He demostrado lo que la declaración siguiente, pero no estoy muy seguro de que es correcto, puesto que esta proposición no es declarado en mis libros generales de ideales, pero sólo para el primer ideales. Por favor, señale el lugar donde el error es si es incorrecto. ($I^e$ denota la extendida ideal del yo, que también es igual a $S^{-1}I$, $J^c$ denota la contracción de $J$)
La proposición: Vamos a R un anillo y sea S un conjunto multiplicativo. Los ideales de $S^{-1}R$ están en correspondencia uno a uno con los ideales I de R que no cumplan S. La correspondencia es $I \Leftrightarrow S^{-1}I$. En virtud de este corresponcence primer ideales corresponden al primer ideales.
Prueba: Supongamos $I$ a ser un ideal de a $R$ que no cumplan $S$. Para cualquier $\frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in S^{-1}I$ y cualquier $\frac{r}{s} \in S^{-1}R $, $\frac{a}{b}\frac{r}{s}=\frac{ar}{bs}$ es en $ S^{-1}I$ desde $ar\in I$$cs\in S$. Además, en $\frac{a}{b}+ \frac{c}{d}= \frac{da+bc}{db}$ es un elemento en el $ S^{-1}I$ por el mismo argumento. Converserly, vamos a $J$ ser cualquier ideal de $S^{-1}R$ si $\frac{x}{s}\in J$$\frac{x}{1}\in J$, por lo tanto $x \in J^c$, (con respecto a la homomorphism $\Phi: R \rightarrow S^{-1}R$, dado por $\Phi(x)=\frac{x}{1}$), por lo tanto $J\subseteq J^{ce}$, es más, es fácil comprobar que $J^{ce}\subseteq J$ para cualquier homomorphism. Por lo tanto $J=J^{ce}$. Desde $J^{c}=I$ por algún ideal $I$ $R$ tenemos que $J=S^{-1}I$. Además si $I$ es el primer en$R$ es fácil ver que $S^{-1}I$ es el primer en $S^{-1}R$. Converserly, si $J$ es cualquier prime ideal $J \subset S^{-1}R$ $J=S^{-1}I$ ideal $I$ $R$ si $ac\in I$, a continuación, por la construcción de $\frac{ac}{bd} \in S^{-1}I$. Desde $J$ es el prime esto implica que $\frac{a}{b}$ o $\frac{c}{d}$$J$. Esto implica que $a$ o $c$ $I$
