Intuitivamente, ¿por qué $log(x)$ vienen en como la integral de $1/x$, mientras que la integral de otras potencias de $x$ son los poderes de $x$?

Question

Pregunta en el título, algo que siempre encontré extraño cuando estaba aprendiendo cálculo.

Puedo ver que $\int \frac{1}{x} dx$ no puede ser $\frac{x^0}{0}$ ya que esto no está definido, entonces la integral definida $\int_1^t \frac{1}{x} dx$ trata de $$\lim_{\delta \rightarrow 0} \frac{t^{\delta}-1}{\delta} = \log (t).$ $

Pero esta comprensión sólo viene de la regla de l'Hopital, y también todavía parece realmente bizaare que la función de registro debe encajar en el conjunto de funciones de la energía como esta. ¿Puede alguien desmitificar esto en absoluto?

Answer 1

Es hermoso que esto funciona tan bien.

Aquí es un pensamiento. La propiedad clave de $\log$ es que es el inverso del $e^x$, y la propiedad clave de $e^x$ es que $\frac{d}{dx} e^x = e^x$. Porque el derivado de $e^x$ es tan simple, se podría esperar algún resultado consecuencia agradable para el derivado de su función inversa.

Diferenciando ambos lados de\begin{equation} \log(e^x) = x \qquad (\spadesuit) \end{equation} da\begin{align} & \log'(e^x) e^x = 1 \\ \implies & \log'(y) = \frac{1}{y} \quad \text{for all } y > 0. \end {Alinee el} por lo tanto, el hecho de que el derivado de $\log(y)$ $\frac{1}{y}$ es casi sólo una reafirmación de $(\spadesuit)$.

Answer 2

Nota el límite que escribió no existe: es de la forma $1/0$.

Sin embargo, tomemos en lugar de considerar la integral definida

$$ \int_1^x t^{a-1} \, dt = \frac{x^a - 1}{a} \qquad \qquad a \neq 0 $$

Tomando el límite de este como $a \to 0$ podemos hacer y podemos racionalizar siendo este el logaritmo de la siguiente manera:

$$\begin{align} f(xy) = \lim_{a \to 0} \frac{(xy)^a - 1}{a} &= \lim_{a \to 0} \frac{x^a (y^a - 1) + (x^a - 1)}{a} \\&= \lim_{a \to 0} x^a \frac{y^a - 1}{a} + \lim_{a \to 0} \frac{x^a - 1}{a} \\&= 1 \cdot f(y) + f(x) \\&= f(x) + f(y) \end{align}$$

por lo que debe de satisfacer el derecho algebraica de identidad. De hecho, incluso hay un teorema que dice que cualquier suficientemente buena función (creo continua es suficiente) que satisface $f(xy) = f(x) + f(y)$ debe ser un logaritmo.