el grado de un campo de división de un polinomio

Question

Que $f(x)\in F[x]$ sea un polinomio de grado $n$. Que $K$ sea un campo División de $f(x)$ $F$. Entonces [K:F] debe divide $n!$.

Sólo sé que $[K:F] \le n!$, pero ¿cómo puedo mostrar que $[K:F]$ $n!$ de divide?

Answer 1

Sugerencia: Trate de inducción en $n$. El caso base es clara; en el paso inductivo, vamos a empezar con un grado $n+1$ polinomio $f$, y de alguna manera a reducir, para el caso de un grado de $\leq n$ polinomio. Hay dos casos: $f$ es irreductible, y $f$ es reducible.

Supongamos $f$ es reducible. Deje $p$ ser un factor irreducible de $f$, por lo que el $1\leq \deg(p)\leq n$, y deje $L$ ser la división de campo de la $p$$F$. A continuación, $K$ es la división de campo de la $\frac{f}{p}$$L$, e $\deg(\frac{f}{p})=\deg(f)-\deg(p)$. Tenga en cuenta que $a!\times b!$ siempre divide $(a+b)!$ (esto es equivalente a la de los coeficientes binomiales ser enteros).

Supongamos $f$ es irreductible. A continuación, dejando $L=K[x]/(f)\cong K(\alpha)$ para algunos raíz de $\alpha$$f$,$[L:F]=n+1$. Ahora considere el $\frac{f}{x-\alpha}$ (que es de grado $n$) como un polinomio sobre $L$.