Recuperación de una acción de grupo a partir de los tamaños de las órbitas de los elementos individuales

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo (digamos, finito) y que actúe sobre un conjunto $X$ (digamos, también finito). Para cada elemento $g \in G$ podemos considerar su acción sobre $X$ . Mi pregunta, más bien vaga, es

¿Qué información sobre los tamaños de las órbitas de $X$ en $G$ , sólo podemos recuperarnos conociendo $G$ y los tamaños de las órbitas de $X$ en $g$ para cada $g\in G$ ?

Tal vez sea mejor expresar qué información nos no puede recuperar, si es que lo hay. Un ejemplo de dos acciones, que muestra que no podemos recuperar todo será un buen comienzo.

Una simple observación es que el lema de Burnside muestra que $|X/G|$ es la media del número de puntos fijos de $g \in G$ . Por lo tanto, esta pieza de información puede ser recuperada (incluso sin conocer la estructura del grupo, que es disponible para nosotros). La pregunta es qué más. Me interesa sobre todo $X^G$ el número de puntos fijos de $X$ bajo el conjunto de $G$ .

Una última observación. Lo que he descrito equivale a decir que conocemos la acción de cada subgrupo cíclico de $G$ y queremos recuperar (en la medida de lo posible) la acción de $G$ . Tal vez deberíamos buscar una familia de subgrupos un poco más grande para esto.

Answer 1

Dejemos que $G=\{1,a,b,ab\}$ sea un Klein $4$ -y considere las siguientes dos acciones en $\{1,2,3,4,5,6\}$ .

En la primera acción

$a \mapsto (1,2)(3,4)$ , $b \mapsto (1,3)(2,4)$ , $ab \mapsto (1,4)(2,3)$ ,

y en la segunda acción

$a \mapsto (1,2)(3,4)$ , $b \mapsto (3,4)(5,6)$ , $ab \mapsto (1,2)(5,6)$ .

En ambas acciones, las tres involuciones tienen dos órbitas de longitud $2$ y dos de longitud $1$ . En la primera acción, las órbitas de $G$ tienen longitudes $4,1,1$ y en la segunda acción son $2,2,2$ .