Recuento de subconjuntos de un % de relación $\mathcal R$

Question

Estoy estudiando para mi la matemática discreta final y mi profesor nos da preguntas de práctica, pero no hay soluciones. El conteo no es mi fuerte así que tenía la esperanza de que se puede comprobar a través de mi trabajo, asegúrese de que mi resultado final es correcto y que mi explicación es suficiente. Cualquier ayuda es muy apreciada. Abajo está la pregunta seguida por mi intento.

Deje $X = \{1, 2,... , 10\}$. Definir la relación $\mathcal R$ $X$ por: Para todos los $a,b ∈ X, a\mathcal Rb$ si y sólo si $ab$ es incluso.

(a) Encontrar y simplificar el número de dos elementos, subconjuntos $S$ $X$ que satisfacen la siguiente propiedad: $∀a ∈ S, a\mathcal R1$. Explique.

En primer lugar me deje $T$ ser el conjunto de todos los $x \in X$, de modo que $a \mathcal R 1$. A continuación,$T= \{2,4,6,8,10\}$, por lo que entonces la pregunta es, ¿cuántos de dos elementos y subconjuntos de S que están ahí, que iba a ser ${5\choose2}=10$

(b) Encuentre el número de subconjuntos de a $S$ $X$ (de cualquier tamaño) que satisfacen la siguiente propiedad: $∀a \in S, ∃b∈S$, de modo que $a\mathcal Rb$. Explique.

Deje $x,y \in \mathbb Z$. A continuación, tenemos las siguientes propiedades: Si $x,y$ impar, a continuación, $xy$ es impar. Si $x,y$, incluso, a continuación, $xy$ es incluso. Si $x$ impar y $y$, incluso, a continuación, $xy$ incluso. Así, por un conjunto de satisfacer la propiedad de arriba debe contener al menos un número par. Para conseguir esto me va a calcular el número total de subconjuntos de a $X$ y restar el número de subconjuntos de a$X$, que contienen sólo números impares (es decir, el número de subconjuntos de a $\{1,3,5,7,9\}$). Así que, a continuación, la respuesta debería ser $2^{10}-2^5=992$

Para la parte (b) me han contado que el conjunto vacío en mi respuesta final, pero no estoy seguro de si realmente satisfacen la propiedad..

Answer 1

Su primera respuesta es correcta. El $S$ son precisamente los conjuntos donde ambos elementos son. Para la segunda parte, observa que el $S$ son sólo los subconjuntos de a $X$ que contienen una elemento. La única subconjuntos que no contienen una elemento son subconjuntos de a $\{1,3,5,7,9\}$, de los cuales hay $2^5 = 32$. Luego hay $| P(X) | - 2^5 = 2^{10}-2^5$ ' conjuntos que contienen aún.

EDIT: La segunda parte de mi respuesta es incorrecta, el conjunto vacío de hecho vacuously satisfacen la propiedad. Esto es porque su negación de los estados existe un $x \in S$ tal que para todos los $y \in S$ tenemos $x \not R y$. Ya que estamos tratando con el conjunto vacío, que no hay tal $x$. El número correcto de $S$ luego $2^{10}-2^5+1$.