¿Existe una correlación entre los números con valencia récord y los factoriales?

Question

Por ejemplo, hay 10 valores de $n$ tal que $\phi(n) = 24$ y eso es más que para cualquier número entero positivo más pequeño. No es cierto para 120, pero sí para 720. No lo he verificado para 5040.

Answer 1

Los números que establecen nuevos récords sí tienen exponentes decrecientes (bueno, no crecientes) en la factorización de los primos. Esto significa a menudo que hay una subsecuencia del mismo tipo que los números "altamente compuestos" de Ramanujan, pero puede llevar mucho trabajo construirlos en detalle.

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           1           2                     1 =  1 
           2           3                     2 = 2
           4           4                     4 = 2^2
           8           5                     8 = 2^3
          12           6                    12 = 2^2 * 3
          24          10                    24 = 2^3 * 3
          48          11                    48 = 2^4 * 3
          72          17                    72 = 2^3 * 3^2
         144          21                   144 = 2^4 * 3^2
         240          31                   240 = 2^4 * 3 * 5
         432          34                   432 = 2^4 * 3^3
         480          37                   480 = 2^5 * 3 * 5
         576          38                   576 = 2^6 * 3^2
         720          49                   720 = 2^4 * 3^2 * 5
        1152          54                  1152 = 2^7 * 3^2
        1440          72                  1440 = 2^5 * 3^2 * 5
        2880          98                  2880 = 2^6 * 3^2 * 5
        4320         126                  4320 = 2^5 * 3^3 * 5

        5040          93                  5040 = 2^4 * 3^2 * 5 * 7
jagy@phobeusjunior:~$ 

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Answer 2

Existe una correlación, pero no es tan interesante como cabría esperar.

Como ya sabe, $n! = \prod_{i = 1}^n i$ . También sabes que la función totiente es multiplicativa condicionada a la coprimalidad.

Así, dado un primo $p$ y un exponente entero positivo $\alpha$ tenemos $\phi(p^\alpha) = p^{\alpha - 1}(p - 1)$ . Para que un número entero tenga una valencia totiente, debe ser un número de esa forma o el producto de números de esa forma. Algunos números enteros no pueden representarse de esa forma, son "no totientes". Otros enteros pueden representarse de esa manera en más de una forma, como el 24, para el que tenemos $(5 - 1)(7 - 1) = (3 - 1)(13 - 1) = (5 - 1)(3^{2 - 1}(3 - 1)) =$ etc.

Claramente $n!$ tiene números que son uno menos que primos y potencias de primos entre sus factores. Pero también tiene notientes entre sus factores, aunque éstos pueden contribuir a la valencia (p. ej, $2 \times 14 = 29 - 1$ . Si $n$ es un no-titular, $n!$ es poco probable que establezca un récord de valencia totiana, pero por lo demás, podría.

T. D. Noe y Donovan Johnson han calculado una lista de números con valencia totiente récord hasta el 3832012800, véase http://oeis.org/A097942 .