Equivalencia de las definiciones de número de la intersección

Question

Considere dos variedades más de un algebraicamente cerrado campo de $k$ $f=0$ $g=0$ que se cruzan en algún punto (sin pérdida de generalidad $(0,0)$) sin componentes comunes, y $f$ $g$ no tienen irreductible factor común.

La definición estándar de la intersección de la multiplicidad es, pues, la dimensión (como $k$-módulo) de

$$\left( \frac{k[x,y]}{(f,g)} \right)_{(x,y)},$$

donde el subíndice indica la localización en el ideal de $(x,y)$.

Otra definición, que me han asegurado que es equivalente, es como sigue. El anillo

$$A= \frac{k[x,y]}{(f,g)} $$

tiene un ideal maximal $m=(x,y)$. Es un teorema que los poderes de $m$ eventualmente estabilizar: existe $N$ tal que $m^{n}=m^{n+1}$ todos los $n\ge N$. La multiplicidad de intersección se define como la dimensión de $A/m^N$.

Mi pregunta: ¿por Qué son estas dos definiciones equivalentes? Mi álgebra conmutativa es débil, por lo que una respuesta detallada sería muy apreciado. Gracias.

Answer 1

El hecho de que los poderes de $m$ estabilizar dice que el anillo local $A_m$ es artinian. Claramente, también es noetherian.

Por el Jordan-Hoelder teorema, $A_m$ tiene un número finito de la composición de la serie. La longitud de la $l$ de esta serie es la longitud de la secuencia de los ideales de la $A_m=I_0\supsetneq I_1\supsetneq I_2\supsetneq\cdots\supsetneq I_l=0,$ donde $I_i/I_{i+1}$ es un simple $A_m$-módulo. Esta última condición implica que $I_i/I_{i+1}\cong A/m =k$ por cada $i,$, así que estamos realmente calcular el $k$-dimensión lineal de $A_m,$ como en su primera definición.

Por supuesto, sabemos que $m^{i+1}\subsetneq m^i$$i<N,$, lo que implica que $m^N\subsetneq m^{N-1}\subsetneq\cdots\subsetneq m\subsetneq A_m$ es una cadena de submódulos que puede ser extendida a una composición de la serie para $A_m.$ a Suponer que esto es cómo logramos que el anterior.

Considere la posibilidad de $A/m^N$. Deje $\overline p=p/m^N\subseteq A/m^N$ ser una de las primeras ideal, donde $p\subseteq A$ es primo. A continuación, $p$ contiene $m^N,$ $p$ contiene $m.$ $p=m,$ y desde cualquier primer ideal de $A/m^N$ puede ser escrita de esta manera, $A/m^N$ contiene un único primer ideal, $m/m^N.$ Esto demuestra que $A/m^N$ es artinian local, ya que su única prime ideal es máxima.

Por lo $A/m^N$ también tiene una composición de la serie, que calcula su longitud, es decir, su dimensión lineal. Por supuesto, desde la $A/m^N$ es local, sabemos que $A/m^N=(A/m^N)_m=A_m/m^N.$ Considera la cadena de $0\subseteq I_{l-1}/m^N\subseteq\cdots\subseteq A_m/m^N.$ Supongamos que $I_i\subsetneq m^N,$ $i$ es mínima con esta propiedad. Por construcción, $m^N=I_{i-1}$ $m^N/I_i=k=A_m/m.$ sin Embargo, $m$ aniquila $k,$ $0=m\cdot(m^N/I_i)=m^{N+1}/I_i=m^N/I_i=k,$ lo cual es absurdo. Por lo tanto, se debe haber tenido a lo largo de todo ese $m^N=I_l=0.$

Además, para todos los demás $i$ tenemos $(I_i/m^N)/(I_{i+1}/m^N)\cong I_i/I_{i+1}=k,$ por el tercer teorema de isomorfismo.

Esto demuestra que $0\subsetneq I_{l-1}/m^N\subsetneq\cdots\subsetneq A_m/m^N=I_0/m^N$ es una composición de la serie para$A_m/m^N\cong A/m^N,$, por lo que la longitud como una $k$-módulo debe ser igual a la de $A_m.$

Answer 2

Primera nota de que el álgebra $A=\frac {k[x,y]}{(f,g)}$ es finito-dimensional : Fulton, las Curvas Algebraicas, Prop.2 página 9 y Cor.4 página 11.
Por lo tanto es Un Artinian y así es su localización $A_\mathfrak m$.
Pero, entonces, el ideal maximal $\mathfrak mA_\mathfrak m$ $A_\mathfrak m$ es nilpotent (Atiyah-Macdonald, Prop. 8.6 página 90), por lo que el $(\mathfrak mA_\mathfrak m)^r=(0)$ algunos $r$.

Finalmente podemos escribir : $$ A_\mathfrak m=A_\mathfrak m/(0) =A_\mathfrak m/ (\mathfrak mA_\mathfrak m)^r =(A/\mathfrak m^r)_ {\mathfrak m/\mathfrak m^r}= A/\mathfrak m^r $$, que demuestra lo que usted desea.
[La tercera igualdad es válida porque la localización y toma de cocientes conmuta con cada uno de los otros.
La última igualdad se sigue del hecho de que el anillo de $A/\mathfrak m^r$ ya es local con ideal maximal $\frak m/\frak m^r$ y adaptarla a ese ideal no cambiar el anillo].