¿Por qué un sindicato debe ser desunido para constituir un coproductos?

Question

En el artículo de wikipedia de los coproductos dice que en la categoría de conjuntos la una coproductos es una Unión separados de sistemas. No es obvio para mí que la Unión debe ser desunida.

Answer 1

Trate de tomar los coproductos de un conjunto con un elemento con sí mismo y utilizar Unión ordinaria. Escoge dos mapas diferentes en otro conjunto. ¿Ellos factor a través de un mapa de este potencial coproductos, que tiene un elemento?

Answer 2

Matt Samuel le ha dado por qué específicamente la Unión falla. Esta es la razón la desunido Unión ha de ser la correcta noción de la "Unión".

En teoría de la categoría, cuando se habla de sistemas, no importa qué elementos se encuentran en el conjunto. Eso es porque la teoría de la categoría sólo se habla de objetos hasta isomorfismo. Así que si tomamos $A$ y $B$ del mismo tamaño, los coproductos tiene que redactarse de manera que no le importa o no $B = A$.

Answer 3

Pongámonos a trabajar con sólo dos juegos, $X_1$ y $X_2$. Que $X_1 \sqcup X_2 = (X_1 \times \{1\}) \cup (X_2 \times \{2\})$ ser su unión desunido y considerar el % de morfismos $i_j : X_j \to X_1 \sqcup X_2$de $i_j (x) = (x,j)$.

Asumir los coproductos que la Unión no disjuntos, el % de morfismos $f_j : X_j \to X_1 \cup X_2$, $f_j(x) = x$.

Sabe usted que existe un único morfismo $f : X_1 \cup X_2 \to X_1 \sqcup X_2$ tal que $f \circ f_j = i_j$.

Ahora, el núcleo de la cuestión: asumir que existen $x \in X_1 \cap X_2$. Entonces

$$(x,1) = i_1 (x) = (f \circ f_1) (x) = f (x)$$

y semejantemente $(x,2) = f(x)$, que muestra que el $f$ no está bien definida.