¿Por qué no $\frac 1 z$ tienen una antiderivada en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ ?

Question

¿Por qué no $\frac 1 z$ tienen una antiderivada en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ ? Entiendo que la antiderivada podría haber sido $\operatorname{Log}(z)$ pero siempre tiene al menos una rama cortada. Pero ¿qué pasa si modificamos el dominio de la $\operatorname{Log}$ a la función $-\pi < \theta \leqslant \pi $ ?

¿No hace esto la antiderivada de $\frac 1 z$ ¿se puede definir? Aunque esta antiderivada será discontinua, pero sigue siendo válida. Entonces, ¿por qué no es así?

Edición: ¿Podemos responder a esta pregunta sin invocar el Teorema Fundamental de la Integración de Contornos?

Answer 1

¿No hace esto la antiderivada de $\frac 1 z$ ¿se puede definir? Aunque esta antiderivada será discontinua, pero sigue siendo válida. Entonces, ¿por qué no es así?

Una antiderivada de una función $f$ en un dominio $G$ es una función $F$ en $G$ tal que $F'=f$ en $G$ y en particular $F$ debe ser diferenciable en cada punto de $G$ . Si una función es diferenciable en un punto, también es continua en ese punto. Así que tu candidata a antiderivada no lo es, siendo no diferenciable en cada punto de discontinuidad.

En otras respuestas ya se ha señalado una forma más sencilla de ver que dicha antiderivada es imposible, pero también se podría utilizar tu planteamiento de trabajar con un logaritmo concreto para ver que es imposible tener una antiderivada global. Supongamos que hay una, y que $F'(z) = \dfrac1z$ en $\mathbb C\setminus\{0\}$ . Sea $\operatorname{Log}$ definirse en $\mathbb C\setminus\{0\}$ por $\operatorname{Log}(z)=\log|z|+i\theta$ con $z=|z|e^{i\theta}$ y $-\pi<\theta\leq \pi$ . Luego, en $\mathbb C\setminus(-\infty,0]$ , $(F-\operatorname{Log})'=0$ de lo que se deduce que $F=\operatorname{Log}+C$ para alguna constante $C$ . Por continuidad de $F$ (a raíz de la diferenciabilidad), $$F(-1)=\lim\limits_{y\searrow 0}F(-1+yi)=\operatorname{Log(-1)}+C = \pi i+C,$$ y $$F(-1)=\lim\limits_{y\searrow 0}F(-1-yi)=\lim\limits_{y\searrow 0}\operatorname{Log}(-1-yi)+C=-\pi i+C.$$ Esta contradicción muestra tal $F$ no puede existir.

(Doy por sentado que $\operatorname{Log}'(z)=\frac1z$ en $\mathbb C\setminus(-\infty,0]$ que se deduce de la versión apropiada del teorema de la función inversa. También doy por sentado que $g'=0$ en un conjunto abierto conectado en $\mathbb C$ implica $g$ es constante).

Answer 2

No puede haber una antiderivada definida en todas partes (excepto en $0$ ).

Supongamos que existe. La integral de $1/z$ sobre cualquier curva cerrada sería $0$ . Sin embargo, este no es el caso, por ejemplo, de los círculos alrededor del origen. Contradicción.

Answer 3

Puede demostrar que $1/z$ no tiene una antiderivada en $\mathbb{C}-0$ integrando alrededor del círculo unitario. Si tuviera una antiderivada por el teorema fundamental de calclus la integral sería cero, pero la fórmula de la integral de Cauchy (o un cálculo explícito) te dice que es $2\pi i$ .

Como otros han mencionado al intentar definir explícitamente una antiderivada como $\log z$ falla porque hay que cortar una rama.