Definiciones equivalentes de campo vectorial

Question

Hay dos definiciones de un campo vectorial en un colector liso $M$ .

1. Un mapa suave $V:M \rightarrow TM, \forall p \in M:V(p) \in T_p M$ .

2. Un mapa lineal $V:C^{ \infty }(M) \rightarrow C^{ \infty }(M), \forall f,g:V(fg)=fV(g)+gV(f)$

No puedo entender por qué son equivalentes. Debemos de alguna manera construir $2$ mapas y muestran que su composición es $id$ pero no tengo ninguna idea de cómo. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Esto depende en gran medida de su definición del espacio tangencial $T_{p}M$ y por lo tanto el paquete tangencial $TM$ . Hay varias formas equivalentes de definirlo. ¿Qué libro estás siguiendo?

Si tu definición del espacio tangencial $T_{p}M$ es un espacio vectorial de mapas lineales $V : C^{ \infty }(p) \to\mathbb {R}$ que satisfacen la regla de Leibniz, es decir. $$V(fg)=f(p)V(g)+g(p)V(f),$$ donde $C^{ \infty }(p)$ se define como \begin {alineado*} C^{ \infty }(p)=\\ ~ - U \to\mathbb R.., \mathrm es.., \mathrm Suave, \mathrm en \in U\,\, \mathrm Y \subseteq M\,\, \mathrm es.., \mathrm {\a6}, \end {alineado*} como se suele hacer, entonces este ejercicio es bastante sencillo.

Consigue un mapa $ \Psi :(1) \to (2)$ de la siguiente manera. Para cada uno $V$ satisfactoria $(1)$ asignar un mapa lineal $ \Psi (V)$  satisfactoria $(2)$ tomando $ \Psi (V)(f)(p)=V(p)(f)$ para todos $f \in C^{ \infty }(p)$ y $p \in M$ . Mostrar que esto es uno-a-uno y sobre, o alternativamente definir un inverso $ \Phi :(2) \to (1)$ asignando para cada uno $V$ satisfactoria $(2)$ un mapa suave $ \Phi (V)$ satisfactoria $(1)$ tomando $ \Phi (V)(p)(f)=V(f)(p)$ para todos $p \in M$ y $f \in C^{ \infty }(p)$ . Así que entiendes que las dos definiciones son equivalentes.

Answer 2

Lo demostraré por cada $X:M \rightarrow TM$ campo vectorial, podemos asociar un operador diferencial $X:C^{ \infty }(M) \rightarrow C^{ \infty }(M)$ .

A estas alturas probablemente sepas que podemos trabajar en coordenadas $(U, \mathcal {X})$ , $U \underset {open} \subset M$ , $ \mathcal {X}:U \rightarrow \mathbb {R}^n$ y así podemos trabajar con el campo vectorial $X$ escrito localmente como $X= \sum_ {i=1}^nX_i \partial x_i$ . Es decir, estamos escribiendo $ \dfrac { \partial }{ \partial x_i}(p)= \partial x_i(p)$ por conveniencia y borrando el $p$ para evitar la anotación pesada. También recuerde que $\{ \partial x_1(p),..., \partial x_n (p)\}$ es una base para $T_p M$ .

Ahora, dado este campo vectorial, define un mapeo $ G:\mathfrak {X}^ \infty (M) \rightarrow \mathcal {D}^ \infty (M)$ desde el espacio de los campos vectoriales $ \mathfrak {X}^ \infty (M)$ sobre $M$ al conjunto de "operadores diferenciales direccionales $ \mathcal {D}^ \infty (M)$ (Acabo de inventar esto) de mapeos $ \mathcal {C}^ \infty (M) \rightarrow \mathcal {C}^ \infty (M)$ de tal manera que $$ G(X)(f)= \sum_ {i-1}^n X_i \dfrac { \partial f}{ \partial x_i} $$ que está en $C^ \infty (M)$ (recuerde que cada $X_i$ está en $C^ \infty (M)$ ). Básicamente, $G$ es sólo el "cambio de punto de vista" que permite ver un campo vectorial $X$ como un derivado direccional $X$ .

Ahora, dado un operador diferencial direccional, se puede definir un campo vectorial que está asociado a él. Espero que ya se hayan dado cuenta ahora de que la notación para la base de $T_p M$ no es accidental y está motivada por esta asociación entre los campos vectoriales y la diferenciación direccional.

Si necesitas una referencia más fuerte, intenta buscar la "Geometría de Riemann" de Do Carmo. También estoy tomando este curso este semestre y este libro está siendo de gran ayuda. Si tienes alguna pregunta, no dudes en preguntar.