Radio de convergencia de esta serie

Question

Esta es una pregunta de un examen GRE math sujeto de la prueba de la práctica material.

$$ \sum^{\infty}_{n=1} \frac{n!x^{2n}}{n^n(1+x^{2n})} $$

El conjunto de los números reales $x$ para los cuales la serie converge es: $\{0\}$, $\{-1 \leq x \leq 1\}$, $\{-1 < x < 1\}$, $\{-\sqrt{e} \leq x \leq \sqrt{e}\}$ o $\mathbb{R}$?

Intento:

$\frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n} \frac{2}{n} \frac{3(4)(5)...(n-1)(n)}{n^{n-2}} < (2/n^2)$

Así que por la prueba de comparación para $(2/n^2)$, $\frac{n!}{n^n}$ converge. Además, $0 < \frac{x^{2n}}{(1+x^{2n})} < 1$ todos los $x \in \mathbb{R}$. Así que esta serie converge para todo número real $x$? La respuesta es $\mathbb{R}$?

Preguntas:

Es mi lógica y la respuesta correcta? Hay una manera más fácil?

Answer 1

La aplicación de la raíz resto: $$ \limsup_{n \to \infty} \left( \frac{n! x^{2n}}{n^n (1+x^{2n})} \right)^{1/n} = \limsup_{n \to \infty} \frac{x^2}{n \cdot \max(1,x^2)} \left( n! \right)^{1/n} = \mathrm{e}^{-1} \cdot \frac{x^2}{ \max(1,x^2)} $$ El lado derecho está limitada de por $\mathrm{e}^{-1} < 1$ todos los $x$, que se converge para todos los $x \in \mathbb{R}$.

Y si uno realmente quiere utilizar la prueba de razón, uno puede, a pesar de que ciertamente califica como hacer las cosas de la manera difícil:

$$\begin{align*} \left|\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{(n+1)!x^{2n+2}}{(n+1)^{n+1}(1+x^{2n+2})}}{\dfrac{n!x^{2n}}{n^n(1+x^{2n})}}\right|&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n(n+1)!x^{2n+2}(1+x^{2n})}{(n+1)^{n+1}n!x^{2n}(1+x^{2n+2})}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n(n+1)x^2(1+x^{2n})}{(n+1)^{n+1}(1+x^{2n+2})}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\frac{1+x^{2n}}{1+x^{2n+2}}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1{n+1}\right)^n\frac{1+x^{2n}}{1+x^{2n+2}}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n+1}\right)^{\frac{n}{n+1}}\frac{1+x^{2n}}{1+x^{2n+2}}\\ &=\frac1e\lim_{n\to\infty}\frac{1+x^{2n}}{1+x^{2n+2}}\\ &=\begin{cases} \frac1e,&\text{if }|x|\le 1\\\\ 0,&\text{if }|x|>1 \end{casos}\\ &<1\;. \end{align*}$$