Demuestre que si $f$ es integrable en $[a,b]$ entonces $|f|$ también es integrable.

Question

El problema sugiere hacerlo mostrando que $U(P,|f|) - L(P,|f|) \le U(P,f)-L(P,f)$ para alguna partición $P$ . Puedo conseguir los otros pasos después de eso, pero he tratado de probar esta desigualdad por mi cuenta y múltiples tutores en mi universidad no pudieron resolverlo usando el material de mi libro. Cada vez que lo he intentado por mi cuenta, he obtenido la flecha en la dirección opuesta. No es $\displaystyle\sup_{i \in [x_{i-1},x_i]} |f(x)| \ge \displaystyle\sup_{i \in [x_{i-1},x_i]} f(x)$ ¿se mantiene?

Tenga en cuenta que mi clase está utilizando un bonito Análisis simplificado (pregunta 5.5.2a) libro que no cubre los espacios métricos ni las integrales de Lebesque. Todo es Riemann y demostramos que una función es integrable en Riemann si y sólo si sus integrales superiores e inferiores de Darboux son iguales.

Answer 1

Basta con demostrar que si $I$ es cualquier subintervalo de $[a,b]$ entonces $$\sup_I\vert f\vert-\inf_I\vert f\vert\leq \sup_I f-\inf_I f\, . $$ Si se hace esto, entonces, dada cualquier partición $P$ , aplique esta desigualdad a cada intervalo $I$ de la partición, multiplicar por $\vert I\vert$ y sumar todo para conseguir $U(P,\vert f\vert)-L(P,\vert f\vert)\leq U(P,f)-L(P,f)$ .

Así que fijemos el intervalo $I$ . Se pueden distinguir 3 casos.

1. Si $\inf_I f\geq 0$ entonces $f\geq 0$ en $I$ así que $\inf_I \vert f\vert=\inf_I f$ y $\sup_I\vert f\vert =\sup_I f$ y por lo tanto $\sup_I\vert f\vert-\inf_I\vert f\vert= \sup_I f-\inf_I f$ .

2. Si $\sup_I f\leq 0$ entonces $f\geq 0$ en $I$ Así que $\inf_I \vert f\vert=-\sup_I f$ y $\sup_I\vert f\vert =-\inf_I f$ y por lo tanto $\sup_I\vert f\vert-\inf_I\vert f\vert= \sup_I f-\inf_I f$ de nuevo.

3. Si $\inf_I f<0<\sup_I f$ , entonces tenemos $\sup_I\vert f\vert=\sup_I f$ , en cuyo caso $\sup_I\vert f\vert-\inf_I\vert f\vert\leq \sup_I\vert f\vert=\sup_I f<\sup_I f-\inf_I f$ o $\sup_I \vert f\vert=-\inf_I f$ , en cuyo caso $\sup_I\vert f\vert-\inf_I\vert f\vert\leq -\inf_I f< \sup_I f-\inf_I f$ .

Answer 2

Recall El criterio de Darboux : $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ es integrable de Riemann(-Darboux) si para todo $\epsilon > 0$ hay una partición $\mathcal{P} = \{a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b\}$ de $[a,b]$ tal que

$$\omega(f,\mathcal{P}) = \sum_{i=0}^{n-1} \left(\sup(f,[x_i,x_{i+1}])-\inf(f,[x_i,x_{i+1}]) \right) (x_{i+1} - x_{i}) < \epsilon.$$

La cantidad

$\omega(f,[x_i,x_{i+1}]) = \left(\sup(f,[x_i,x_{i+1}])-\inf(f,[x_i,x_{i+1}] \right)$

a veces se denomina oscilación de $f$ en el (sub)intervalo $[x_i,x_{i+1}]$ ya que mide la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño. Afirmo que para cualquier función $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ , tomando el valor absoluto no aumenta la oscilación: $\omega(|f|,I) \leq \omega(f,I)$ . Este es un argumento sencillo que les dejo: observen que este argumento también subyace a la prueba de que si $f$ es continua, también lo es $|f|$ . El resultado se obtiene aplicando dos veces el criterio de Darboux.

Algunos comentarios:

1) Como dice Alex Ravsky en su respuesta, en realidad podemos "reducir" el problema a $f$ continua en $a$ $\implies$ $|f|$ continua en $a$ utilizando el criterio de (Riemann-)Lebesgue que $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ es integrable de Riemann si está acotado y su conjunto de discontinuidades tiene medida cero. Esto es exagerado.

2) El resultado es un caso especial de otro resultado útil que suele presentarse en los cursos de análisis de grado: si $f: [a,b] \rightarrow [c,d]$ es integrable en Riemann y $\varphi: [c,d] \rightarrow \mathbb{R}$ es continua, entonces $\varphi \circ f$ es integrable de Riemann. Aplicando esto con $\varphi(x)= |x|$ obtenemos el resultado. Para una demostración, véase el teorema 8.17 de estas notas . Este resultado puede aplicarse, por ejemplo, para demostrar que el producto de dos funciones integrables de Riemann es integrable de Riemann.

3) La demostración del teorema mencionado anteriormente no es tan fácil. Sin embargo, resulta mucho más fácil si $\varphi$ no es sólo continua, sino que Lipschitz es decir, si existe una constante $C$ tal que $|\varphi(x)-\varphi(y)| \leq C|x-y|$ para todos $x,y \in [c,d]$ . Este caso más sencillo se demuestra por separado como Teorema 8.20 en las notas anteriores, y la prueba se reduce a observar que para Lipschitz $\varphi$ , $\omega(\varphi \circ f, I) \leq C \omega(f,I)$ . Obsérvese que la función de valor absoluto es Lipschitz con $C = 1$ Y esto es exactamente lo que hemos observado más arriba.

Answer 3

Puedo proponer la siguiente prueba propia. :-) Desde $f$ es (propiamente) integrable de Riemann en $[a,b]$ , $f$ está acotado en $[a,b]$ . Por el teorema de Lebesgue, una función acotada $f$ en un segmento es integrable de Riemann si el conjunto $D(f)$ de los puntos de discontinuidad de $f$ tiene la medida de Lebesgue $0$ . Dado que la función $|\cdot|$ es continua, $D(|f|)\subset D(f)$ . Así, $0\le\mu(D(|f|))\le \mu(D(f))\le 0$ y de nuevo por el thereom de Lebesgue, la función $|f|$ es integrable de Riemann en $[a,b]$ .