Por qué es el % de número complejo $z=a+bi$equivalente a la matriz forma $\left(\begin{smallmatrix}a &-b\\b&a\end{smallmatrix}\right)$

Question

Posibles Duplicados:
Relación de esta matriz antisimétrica $r = \left(\begin{smallmatrix}0 &1\\-1 & 0\end{smallmatrix}\right)$ $i$

En la Wikipedia, que dice que:

Representación de la matriz de números complejos
Los números complejos $z=a+ib$ también puede ser representado por $2\times2$ matrices que tienen el siguiente formato: $$\pmatrix{a&-b\\b&a}$$

No entiendo por qué pueden ser representados por estas matrices o donde estas matrices vienen.

Answer 1

Nadie parece haber mencionado explícitamente, así que yo. Cumple con el % de matriz $J = \left( \begin{array}{clcr} 0 & -1\\1 & 0 \end{array} \right)$$J^{2} = -I,$$I$Dónde está la matriz de identidad de $2 \times 2$ (de hecho, esto es porque tiene valores propios % de $J$ $i$y $-i$, pero nos dejaron poner eso a un lado por un momento). Por lo tanto, realmente no hay diferencia entre el % de matriz $aI + bJ$y el número complejo $a +bi.$

Answer 2

Mirar las operaciones aritméticas y sus acciones. Con + y *, estas matrices forman un campo. Y tenemos el isomorfismo $$a + ib \mapsto \left[\matrix{a&-b\cr b &a}\right].$ $

Answer 3

Había algo escrito en esta ahí. El $-$ se fuera, pero es más o menos el mismo, espero te sirva de ayuda.

Deje $M$ denota el conjunto de tales matrices. Definir una función $\phi\colon M\to\mathbb{C}$ por $$ \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha\end{pmatrix}\mapsto \alpha+\beta. $$ Tenga en cuenta que esta función tiene inversa $\phi^{-1}$ definido por $\alpha+i\beta\mapsto\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha\end{pmatrix}$. Esta función está bien definida, ya que $\alpha+i\beta=\gamma+i\delta$ si y sólo si $\alpha=\gamma$$\beta=\delta$, y por lo tanto no es nunca el caso de que un número complejo se puede escribir de dos maneras distintas con diferentes parte real y diferente de la parte imaginaria. Por lo $\phi$ es invertible.

Ahora vamos a $$ A=\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} \gamma & \delta \\ -\delta & \gamma\end{pmatrix}. $$ Entonces $$ \phi(A+B)=\phi\begin{pmatrix} \alpha+\gamma & \beta+\delta \\ -\beta-\delta & \alpha+\delta\end{pmatrix}=(\alpha+\gamma)+i(\beta+\delta)=(\alpha+i\beta)+(\gamma+i\delta)=\phi(A)+\phi(B). $$ También, $$ \phi(AB)=\phi\begin{pmatrix} \alpha\gamma-\beta\delta & \alpha\delta+\beta\gamma \\ -\beta\gamma-\alpha-\delta & -\beta\delta+\alpha\gamma\end{pmatrix}=(\alpha\gamma-\beta\delta)+i(\alpha\delta+\beta\gamma)=(\alpha+i\beta)(\gamma+i\delta)=\phi(A)\phi(B). $$ Por lo $\phi$ respeta la adición y la multiplicación. Por último, $\phi(I_2)=1$, lo $\phi$ también respeta la identidad multiplicativa. Por lo tanto $\phi$ es un campo de isomorfismo, por lo $M$ $\mathbb{C}$ son isomorfos como campos.

Answer 4

La matriz de la rep $\rm\:\alpha = a+b\,{\it i}\:$ es simplemente la representación de la matriz de la $\:\Bbb R$-lineal mapa de $\rm\:x\to \alpha\, x\:$ ver $\,\Bbb C\cong \Bbb R^2$ como espacio vectorial sobre $\,\Bbb R.\,$ Cómputo de los coeficientes de $\,\alpha\,$ wrt a la base $\,[1,\,{\it i}\,]^T\:$

$$\rm (a+b\,{\it i}\,) \left[ \begin{array}{c} 1 \\ {\it i} \end{array} \right] \,=\, \left[\begin{array}{r}\rm a+b\,{\it i}\\\rm -b+a\,{\it i} \end{array} \right] \,=\, \left[\begin{array}{rr}\rm a &\rm b\\\rm -b &\rm a \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} 1 \\ {\it i} \end{array} \right]$$

Como en el anterior, cualquier anillo puede ser visto como un anillo de lineal mapas en su grupo aditivo (la llamada izquierda-regular la representación). De manera informal, simplemente hay que ver cada elemento del anillo como un $1\!\times\! 1$ matriz, con las habituales operaciones de matriz. Este es un anillo de la teoría de la analogía de la representación de Cayley de un grupo a través de permutaciones en su conjunto subyacente, mediante la visualización de cada una de las $\,\alpha\,$ como una permutación $\rm\,x\to\alpha\,x.$

Cuando, como en el anterior, el anillo tiene la estructura más de un $\rm\,n$-dimensional espacio vectorial sobre un campo, entonces, respecto de una base del espacio vectorial, el lineal de los mapas de $\rm\:x\to \alpha\, x\:$ son representables como $\rm\,n\!\times\!n\,$ matrices; por ejemplo, cualquier algebraica de campo de extensión de grado $\rm\,n.\,$ Arriba es el caso especial $\rm n=2.$

Answer 5

La matrices $I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ y $J=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ viaje (todo conmuta con $I$) y $J^2=-I$. Todo lo demás se deduce las propiedades estándar (asociatividad, commutativity, distributividad, etc) que tienen operaciones con matrices.

Así, $aI+bJ=\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}$ se comporta exactamente como $a+bi$ bajo adición, multiplicación, etc..