¿Pueden 2 caras del cubo de Rubik generar una esquina de 3 ciclos?

Question

Si se giran sólo dos caras adyacentes del cubo de Rubik, ¿es posible llegar a un estado en el que sólo tres piezas de las esquinas estén fuera de su sitio (y todas las demás piezas estén en los lugares originales)?

Esta es una pregunta que se me ocurrió hace muchos años. En aquel momento pude demostrarlo escribiendo un programa informático que contara por mí. Pero ahora, de hecho, tengo curiosidad por saber qué soluciones elegantes hay.

En primer lugar, esta página web da dos pruebas diferentes de que la respuesta es "no", y que hay exactamente $120$ posibles permutaciones de las piezas de esquina.

En segundo lugar, doy una prueba a continuación que mi hermano y yo encontramos. Mi pregunta es si hay otras formas de demostrar esto que sean fundamentalmente diferentes, y espero que más elegantes que estas pruebas. También tenemos curiosidad por saber si hay alguna razón más profunda por la que nuestra prueba funcione, porque intuitivamente no tiene ninguna razón para funcionar ya que el argumento de paridad final sólo excluye algunos 3 ciclos.

Answer 1

En primer lugar, vemos las seis piezas de esquina dispuestas en una cuadrícula rectangular con ranuras etiquetadas del 1 al 6:

1——4——5
|  |  |
2——3——6

Entonces los movimientos permitidos son simplemente los dos ciclos de 4 $A = (1,2,3,4)$ y $B = (3,4,5,6)$ . A partir de ahora hablaremos sólo de las permutaciones generadas por $A,B$ . Y por comodidad, dada cualquier permutación $X$ , dejemos que $X'$ denotan su inversa.

Tenga en cuenta que podemos mover fácilmente cualquier pieza $p,q,r$ en las ranuras 1,2,3 respectivamente. (Primer movimiento $p$ a la ranura 1. Si $q$ no está en la ranura 2, entonces mueve $q$ a la ranura 3 y realizar $AB'A'$ . Por último, muévete $r$ a la ranura 3). Esto da al menos $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ diferentes permutaciones.

Lo anterior también demuestra que cualquier ciclo de 3 $C$ en las ranuras $x,y,z$ puede transformarse (mediante un conjugado) en un ciclo de 3 en las ranuras 1,2,4. En concreto, existe una permutación $P$ que mueve las piezas en $x,y,z$ a las ranuras 1,2,4 y así $P'CP$ sería un ciclo de 3 en las ranuras 1,2,4.

Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar que no hay ningún ciclo de 3 en las ranuras 1,2,4 (y que no afecta a otras ranuras). Basta con demostrar que $(4,2,1)$ es imposible, porque $(1,2,4) = (4,2,1)^2$ .

Considera las ubicaciones de las piezas que están a un número impar de aristas de la ranura original (a lo largo de la cuadrícula). Al principio no hay ninguna. Enumeramos todas las configuraciones posibles donde "1" denota las ubicaciones de tales piezas (hasta la simetría, ya que la simetría no afecta a la distancia de las ranuras):

Grupo 0:

000  001  010  100  011
000  111  010  100  110

Grupo 1:

011  101  000  001  111
011  101  110  100  111

Se puede comprobar que cada uno de $A,B$ siempre llevará una configuración de un grupo al otro grupo. Dado que $A,B$ son permutaciones Impares, cualquier ciclo de 3 requeriría un número par de movimientos, y por lo tanto permaneceríamos en el grupo 0, pero $(4,2,1)$ corresponde a:

110
000

que está en el grupo 1 y por lo tanto es imposible.