¿Por qué debe $\Psi (x,t)$ ir a cero más rápido que $\frac{1}{\sqrt{|x|}}$?

Question

¿Por qué debe $\Psi (x,t)$ ir a cero más rápido que $\frac{1}{\sqrt{|x|}}$ como $|x|$ $\infty$?

Según introducción Griffiths a la mecánica cuántica, debe. No entiendo por qué, y esto es en su nota (mientras habla normalizability), así que no hay ninguna explicación en cuanto a por qué esto debe ser así.

Answer 1

De lo contrario uno podría finalmente acatar la integral $1/x$, que diverge a infinito como $\ln(x)$, y la función no puede ser normalizada. Por supuesto, no hay nada especial acerca de $1/\sqrt{|x|}$, muy bien podría haber elegido $1/\sqrt{|x\ln(x)|}$. Y en caso de que se lo pregunte, no hay ninguna función, tal que todas las funciones de crecimiento eventualmente más lento convergen y divergen todas las funciones de más rápido crecimiento.

Answer 2

Mi comprensión de por qué Griffiths escogió $\frac{1}{\sqrt{ |x| }}$ como un límite superior de $\Psi$ es desde una perspectiva de análisis dimensional. Por ejemplo $\Psi^*\Psi$ es una densidad de probabilidad. Así $\Psi^*\Psi$ 1 dimensiones debe tener unidades de $\frac{1}{|distance|}$ en orden para $\int^\infty_{-\infty}\Psi^*\Psi\,dx=1$ (para normalizado $\Psi$). Así $\Psi$ debe tener unidades de $\frac{1}{\sqrt{ |distance| }}$. Pero sabemos que el integral $\int^\infty_{-\infty}\frac{1}{\sqrt{ |x| }}\frac{1}{\sqrt{ |x|}}\,dx=\int^\infty_{-\infty}\frac{1}{|x|}\,dx$ se divergen. Tan una función $\Psi$ debe ir a cero más rápido que $\frac{1}{\sqrt{ |x| }}$ para tener alguna esperanza de $\int^\infty_{-\infty}\Psi^*\Psi\,dx$ convergente.