En la página 17 de este pdf, http://www.math.uchicago.edu/~mayo/CONCISO/ConciseRevised.pdf, la Van Kampen Teorema está demostrado.
Que es lo que se demuestra que para cualquier cobertura de un espacio de $X$ por una familia de abrir la ruta de acceso conectado subconjuntos $\lbrace U_i\rbrace$ cerrado bajo intersecciones finitas, entonces el fundamental groupoid $\pi(X) =$ colim ${\pi(U_i)}$ Donde la categoría de la $U$ es el ${\pi(U_i)}$ como objetos y las inclusiones $U_i \subset U_j$ como flechas.
Ahora el teorema está demostrado por mostrar que el requerido universal propiedad está satisfecho, que es que, dado cualquier groupoid $G$ con la familia de los mapas de $f_{U_i}:\pi(U_i) \to G$ de manera tal que el asociado diagrama de desplazamientos (que es que si $U_i \subset U_j$ tenemos $f_{U_j}|_{U_i} = f_{U_i}$) podemos encontrar una única familia de mapas de $f^*: \pi(X) \to G$ tal que $f^*|_{\pi(U_I)} = f_{U_i}$.
Para $a\in U_j$ podemos definir $f^*(a) = f_{U_j}(a)$. Obviamente, esta es única y está bien definida porque si $a \in U_j, U_k$ tenemos $a \in {U_j \cap U_k}$$f_{U_j}|_{U_j \cap U_k} = f_{U_k}|_{U_j \cap U_k}$.
Por un camino de $\phi: x \to y$ con $x, y \in X$, $f$ está cubierto por la U y por lo tanto tiene un número finito de subcovering $\lbrace U_i\rbrace$. Ahora denotar la restricción de que nuestro camino un camino en $U_i$ $\phi_i$. Parece celar que podemos encontrar adecuada de los extremos para hacer esto. Podemos entonces definir $f([\phi])$ a ser el compuesto de todos los $\phi_i$.
Creo que puedo entender por qué los pasos reales en la prueba son válidos, pero el teorema parece exigir que los conjuntos se trate de ruta de acceso conectados, a pesar de que en ningún punto de la prueba real emplea este. Puede alguien por favor tratar de explicar lo que parte de que la prueba no es válida si el $\lbrace U_i\rbrace$ involucrados no están ruta de acceso conectado? ¿Por qué no el mapa construido todavía funcionan?
