tres enteros positivos distintos $a, b, c$ tales que la suma de cualquiera de las dos es divisible por el tercero

Question

Necesito determinar tres enteros positivos distintos $a, b, c$ tales que la suma de cualquiera de las dos es divisible por el tercero.

Probé como con pérdida de generalidad que $a<b<c$

¿Como $a\mid (b+c)$ lo $b+c=ak_1$ $k_1\in\mathbb{N}$ semejantemente $$a+b=k_2 c$$ $$a+c=k_3b$$ so adding them I get $ k_1 + k_2 k_3 = 2$, alguien me podria ayudar para proceder?

Answer 1

Desde $0+0 < a + b < c + c = 2c$ y $ c | a + b $, por lo tanto, $ a + b = c$.

Desde $ a < b$, por lo tanto, $ 2a < a+b =c < 2 b $.

Desde $0+ b < a + c < b + 2b $ y $b|a+c$ por lo tanto, $ a+c = 2b$.

Resolver el sistema de ecuaciones, obtenemos que $b=2a, c=3a$. Es fácil comprobar que $\{a, 2a, 3a\}$ satisface las condiciones.

Answer 2

$$ak_1-b-c=0 \ \ \ \ \ (1)$$

$$a-bk_2+c=0 \ \ \ \ (2)$$

$$a+b-ck_3=0 \ \ \ \ (3)$$

El uso de este, para no trivial de la solución,

$$\det\begin{pmatrix} k_1 & -1 & -1 \\ 1 & -k_2 &1 \\ 1&1&-k_3\end{pmatrix}=0$$

$$\implies k_1(k_2k_3-1)-1(k_3+1)+1(1-k_2)=0$$

$$\implies k_1+k_2+k_3=k_1\cdot k_2\cdot k_3$$

A partir de la respuesta por BrianM.Scott de esto, podemos tomar $k_1=1,k_2=2,k_3=3$ para cualquier base $b$ donde $b$ es un número natural $>1$

La solución de $(1),(2),(3)$ obtenemos $b=2c,a=3c\implies (a,b,c)=(3c,2c,c)$

Answer 3

Usted debe conseguir $2(a+b+c)=k_1a+k_2b+k_3c $ - $(*)$

Ahora si conseguir $k_1=k_2=k_3=2$ $a=b=c$.

Supongamos que $k_1\le k_2\le k_3$, entonces debemos tener $k_3 \gt 2$ y $k_1 \lt 2$ otra cosa los dos lados de $(*)$ no pueden ser iguales.

Ya que $k_1$ es un entero positivo distinto de cero menos de $2$ es debe ser $1$.

Así que tenemos $a=b+c$ y $b+(b+c)=k_2c$ y $c+(b+c)=k_3b$ que $$b=\frac {k_2-1}2c, \text{ } c=\frac {k_3-1}2b$$ whence $$(k_2-1)(k_3-1)=4$$ and we have $ k_2 = k_3 = 3 $ with $b = c $, which is not allowed, or $ k_2 = 2, \text {} k_3 = 5$.

En este caso $c=2b$ y $a=b+c=3b$ da la familia de soluciones semánticos en los comentarios.

Answer 4

En primer lugar, tenga en cuenta que $0<a<b<c$ y $c|a+b$ implica $a+b=c$.

Desde $b|a+c=2a+b$ tenemos $\beta b=2a+b$ y $\alpha a=a+2b$ donde $\alpha,\beta\in\mathbb N$.

Ahora implica la $a<b$ $\beta b<3b$, por lo que debe ser igual a $\beta$ $2$ y por lo tanto $2a=b$.

Sigue que $c=a+b=3a$.

Por lo tanto las soluciones son $(a,2a,3a)$ para cualquier $a\in\mathbb N_+$

Answer 5

se nos da $a<b<c$, $0<a+b<c+c=2c$ y $c\mid a+b$ % que $a+b=c$, $2a+b=a+c$ ya sabéis $b\mid a+c$ lo $b\mid 2a$. Desde $2a<2b$ % que $b=2a$y $c=a+b=3a$ para que funcione para cualquier número entero de $n,2n, 3n$$+ve$$n$