Acuerdo establece como punto de espectro de un operador acotado

Question

Es bien sabido que si $K$ es cualquier conjunto compacto en $\mathbb{C}$, entonces no existe una limitada lineal operador $T:l_2\to l_2$ tal que $\sigma(T)=K$. Mis preguntas son:

Q1) ¿existe $T$, un almacén de operador lineal en $l_2$ de manera tal que el punto del espectro de $\sigma_p(T)$ es el $K$? Es decir, la única autovalores son los números complejos en $K$?

Q2) ¿existe $T$, un almacén de operador lineal en $l_2$ tal que $\sigma(T)=\sigma_p(T)=K$. Es decir, no hay otros puntos en el espectro excepto los autovalores de a $K$?

Claramente una respuesta positiva a Q2) implica una respuesta positiva a la T1).

Answer 1

Para responder a Q1, podemos decir exactamente cuando un subconjunto de a $\mathbb{C}$ puede ser comprendido como el punto del espectro de una limitada operador lineal en $\ell^2$.

Teorema: Un conjunto $K\subseteq\mathbb{C}$ es igual a la del punto de espectro de un almacén lineal operador $T\colon \ell^2\to \ell^2$ si y sólo si $K$ es limitado y es la unión de countably muchos conjuntos cerrados (F_σconjunto).

De hecho, podemos ir un poco más allá. Si $K$ está contenida en el open de bola de $B_R(0)$ algunos $R > 0$, entonces es posible elegir $T$ tal que $\Vert T\Vert=R$.

Antes de la construcción de $T$ con el punto dado del espectro, voy a probar rápidamente a la inversa. Si $K=\sigma_p(T)$ $K$ es una acotada F_σ conjunto (esto va a utilizar el hecho de que $\ell^2$ es un espacio de Banach cuyo doble es separable). En primer lugar, $K$ está contenida en el espectro de $\sigma(T)$, la cual está contenida en el cerrado de la bola de $\bar B_R(0)$ $R=\Vert T\Vert$ (estándar de las propiedades de los operadores acotados), por lo que es acotada. A continuación, vamos a $B=\lbrace x\in \ell^2\colon\Vert x\Vert\le 1\rbrace$ ser la bola unidad cerrada en $\ell^2$ con la topología débil, que es compacto. A continuación, $B^0\equiv B\setminus\lbrace0\rbrace$ es σ-compacto. De hecho, la elección de cualquier densa secuencia $u_1,u_2,\ldots$$\ell^2$, podemos escribir explícitamente $B^0$ como la unión de conjuntos compactos $$ B^0=\bigcup_{n=1}^\infty\lbrace x\in B\colon\vert\langle u_n,x\rangle\vert\ge1\rbrace. $$ Set $C=\lbrace (x,\lambda)\in B^0\times\mathbb{C}\colon Tx=\lambda x\rbrace$ con el producto de la topología de la cual, por ser un subconjunto cerrado de $B^0\times\mathbb{C}$, es σ-compacto. Definir el mapa continuo $\pi\colon C\to\mathbb{C}$$\pi(x,\lambda)=\lambda$,, $\sigma_p(T)=\pi(C)$ es σ-compacto y, por lo tanto, es un F_σ conjunto.

Ahora, vamos a pasar a la construcción de $T$ norma $\Vert T\Vert=R$ y el punto del espectro de un determinado acotada F_σ set $K\subseteq B_R(0)$. El caso general sigue por el caso donde $K$ es cerrado, ya que si escribimos $K=\bigcup_{n=1}^\infty K_n$ cerrados $K_n$, entonces, la elección de los operadores de $T_n$$\Vert T_n\Vert=R$$\sigma_p(T_n)=K_n$, la suma directa de $T=\oplus_n T_n$ es un operador en $\oplus_n\ell^2\cong\ell^2$ $\Vert T\Vert=R$ y el punto de espectro $K$ como se requiere.

Así, supongamos que el $K\subseteq B_R(0)$ es cerrado. Por la escala, podemos asumir que $R > 1$ y $K\subseteq B_1(0)$. Voy a construir un operador lineal $T$ sobre el espacio de Hilbert $H=\ell^2(\mathbb{N}^2)\cong\ell^2$ (estoy usando $\mathbb{N}=\lbrace0,1,2,\ldots\rbrace$). Recordemos que $H$ se compone de las funciones $f\colon\mathbb{N}^2\to\mathbb{C}$ finitos norma $\Vert f\Vert^2=\sum_{m,n}\vert f(m,n)\vert^2$ e interior del producto $\langle f,g\rangle=\sum_{m,n}\overline{f(m,n)}g(m,n)$. Ahora, elija las secuencias de los números reales positivos $r_i,\epsilon_i$ y el complejo $z_i$ ($i=1,2,\ldots$) tal que $\bar B_{r_i}(z_i)$ es disjunta de a $K$ que $K=\bar B_1(0)\setminus\bigcup_iB_{r_i}(z_i)$. No importa exactamente lo que los valores de $\epsilon_i$ tomar en el momento, voy a elegir a estos en más detalle en un momento. Definir $T\colon H\to H$ por $$ Tf(m,n)=\begin{cases} f(m,n+1),&\textrm{if }m=0,\cr r_mf(m,n-1)+z_mf(m,n),&\textrm{if }m,n > 0,\cr \epsilon_m r_m f(0,0)+z_mf(m,n),&\textrm{if }m > 0, n=0. \end{casos} $$ La idea es que el $T$ se comporta como un desplazamiento de izquierda (en $m=0$), de manera que el punto del espectro está contenida en $\bar B_1(0)$, unido a un conjunto de derecho-turnos en cada una de las $m > 0$) para eliminar las bolas $\bar B_{r_i}(z_i)$ desde el punto de espectro. Se puede ver que $T$ norma $$ \Vert T\Vert\le\max_m\left(1,\vert z_m\vert+r_m\right)+\left(\sum_m\epsilon_m^2r_m^2\right)^{1/2}. $$ Esto satisface $\Vert T\Vert\le R$ tan largo como queramos $\bar B_{r_i}(z_i)\subseteq B_R(0)$ y elija $\epsilon_i$, de modo que $\sum_i\epsilon_i^2r_i^2$ es lo suficientemente pequeño. Y (si te gusta), mediante la ampliación de $\epsilon_i$, podemos asegurar que $\Vert T\Vert=R$.

Ahora, un complejo número de $\lambda$ está en el punto de espectro $\sigma_p(T)$ si y sólo si existe un valor distinto de cero $f\in H$ tal que $Tf=\lambda f$. Conectar $Tf$ a partir de la definición anterior y la solución de las ecuaciones lineales muestra que, hasta un factor de escala, $f$ debe ser dada por $$ f(m,n)=\begin{cases} \lambda^n,&\textrm{if }m=0,\cr \epsilon_m\left(r_m/(\lambda-z_m)\right)^{n+1},&\textrm{if }m > 0. \end{casos} $$ Si $\vert\lambda\vert\ge1$$\sum_n\vert f(0,n)\vert^2=\infty$, por lo que debemos tener $\vert\lambda\vert < 1$. Del mismo modo, si $\lambda\in\bar B_{r_i}(z_i)$$\sum_n\vert f(i,n)\vert^2=\infty$. Así, con el fin de que $f\in H$ debemos tener $\lambda\in K$, en cuyo caso, $$ \Vert f\Vert^2=\frac{1}{1-\vert\lambda\vert^2}+\sum_{m=1}^\infty\frac{\epsilon_m^2}{\vert\lambda-z_m\vert^2/r_m^2-1}. $$ Ahora, como $\bar B_{r_i}(z_i)$ es disjunta de a $K$, el plazo $(\vert\lambda-z_i\vert^2/r_i^2-1)^{-1}$ es una positiva continua en función de $\lambda\in K$, por lo que está limitada anteriormente por algunos $d_i^2 > 0$. A continuación, $$ \Vert f\Vert^2\le\frac{1}{1-\vert\lambda\vert^2}+\sum_{m=1}^\infty\epsilon_m^2d_m^2. $$ Tan largo como queramos $\epsilon_i$, de modo que $\sum_m\epsilon_m^2d_m^2 < \infty$, esto implica que $f\in H$ todos los $\lambda\in K$, lo $\sigma_p(T)=K$.

Nota: El operador $T$ I se construyó aquí no da una respuesta positiva a la Q2. Para cualquier $\omega\in S^1$$\epsilon > 0$, establecimiento $f_\epsilon(m,n)=1_{\lbrace m=0\rbrace}\epsilon\omega^n(1+\epsilon)^{-n-1}$ da $\Vert f_\epsilon\Vert=1$$\Vert(T-\omega)f_\epsilon\Vert\to0$$\epsilon\to0$, lo $\omega\in\sigma(T)$. Por lo tanto, $S^1\subseteq\sigma(T)$.

Answer 2

Esta pregunta me ha estado molestando por un tiempo, pero, ahora, por fin puedo dar una respuesta positiva a la pregunta 2. De hecho, podemos decir exactamente que establece ocurrir como el espectro y el punto del espectro de un operador lineal en $\ell^2$.

Teorema. Deje $K_1,K_2$ ser subconjuntos de a $\mathbb{C}$. Entonces, existe una limitada lineal operador $T\colon\ell^2\to\ell^2$ $\sigma_p(T)=K_1$ $\sigma(T)=K_2$ si y sólo si (i) $K_2$ es un cerrado no vacío y acotado conjunto y (ii) $K_1\subseteq K_2$ es un F_σconjunto (una contables de la unión de conjuntos cerrados).

En primer lugar, estas condiciones en $K_1,K_2$ son necesarios. Por norma propiedades de los operadores acotados, $\sigma(T)=K_2$ debe ser cerrado, acotado y no vacío. También, el punto de espectro debe estar contenida en el espectro y, como se muestra en mis otros respuesta a esta pregunta (la respuesta a Q1), es un F_σ conjunto.

Vamos a empezar con el caso donde $K=K_1=K_2$ es un cerrado no vacío y acotado conjunto. Voy a construir un ejemplo con las siguientes propiedades.

$H$ es un espacio de Hilbert separable y $T\colon H\to H$ es un operador acotado cuyo punto de espectro incluye el cerrado de la bola de $\bar B_{1/2}(0)$. Para cualquier cerrado no vacío $K\subseteq\bar B_{1/2}(0)$, vamos a $H_K$ ser el subespacio cerrado de $H$ generado por los vectores propios de a $T$ con valores propios en $K$ y deje $T_K\colon H_K\to H_K$ ser la restricción de $T$$H_K$. A continuación, $\sigma_p(T_K)=\sigma(T_K)=K$.

Así, podemos encontrar ejemplos con el espectro, $\sigma(T)=\sigma_p(T)=K$ por restricción para subespacios $H_K$ de un solo espacio de Hilbert separable $H$. A continuación, $H_K$ es un espacio de Hilbert separable entonces es isomorfo a $\ell^2$ o es finito dimensionales (en cuyo caso la suma directa de una contables conjunto de copias de $H_K$ es isomorfo a $\ell^2$). A continuación, podemos encontrar ejemplos para cualquier cerrado acotado no vacío set $K$ por el escalado.

En primer lugar, voy a crear un poco de notación. Elija una secuencia finita $z_0,z_1,\ldots,z_{N-1}\in B_{1/2}(0)$ tal que $\bigcup_{n=0}^{N-1}\bar B_{1/4}(z_n)\supseteq\bar B_{1/2}(0)$. Deje $[N]=\lbrace0,1,\ldots,N-1\rbrace$ y definen $[N]^\ast$ a ser distinto de la unión de $[N]^n$ $n\in\mathbb{N}$ (estoy usando $\mathbb{N}=\lbrace0,1,\ldots\rbrace$). Tenga en cuenta que $[N]^\ast$ es contable. Para cada una de las $a=(a_0,\ldots,a_{n-1})\in[N]^n$$z_a=z_{a_0}+2^{-1}z_{a_1}+\cdots+2^{-(n-1)}z_{a_{n-1}}$$r_a=2^{-n}$. También se establece $a\cdot k=(a_0,\ldots,a_{n-1},k)\in[N]^{n+1}$ por cada $k\in[N]$. Por construcción tenemos, $$ \begin{align} &B_{r_{()}}(z_{()})=B_1(0),\cr &\bar B_{\frac{r_a}{2}}(z_a)\subseteq\bigcup_{k\in[N]}\bar B_{\frac{r_{a\cdot k}}{2}}(z_{a\cdot k}) \end{align} $$ Ahora definir un espacio de Hilbert separable $V=\bigoplus_{a\in[N]^\ast}\ell^2$. Elementos de la $f\in H$ son mapas de $f\colon[N]^\ast\to\ell^2$ finitos norma $\Vert f\Vert^2=\sum_{a\in[N]^*}\Vert f(a)\Vert^2$, y el producto interior $\langle f,g\rangle=\sum_{a\in[N]^\ast}\langle f(a),g(a)\rangle$. Definir el cambio de mapa $S\colon\ell^2\to\ell^2$$S f(n)=f(n+1)$. A continuación, $\Vert S^n\Vert=1$ todos los $n\ge 0$, en cuyo caso, para todos los $\lambda\in\mathbb{C}$$\vert\lambda\vert > 1$, $$ \begin{align} &(\lambda-S)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n-1}S^n,\cr &\Vert(\lambda-S)^{-1}\Vert\le\sum_{n=0}^\infty\vert\lambda\vert^{-n-1}=(1-\vert\lambda\vert)^{-1}. \end{align} $$ Por eso, $\sigma(S)\subseteq\bar B_1(0)$. También, para$\vert\lambda\vert < 1$$x_{\lambda}=(1,\lambda,\lambda^2,\ldots)\in\ell^2$, de modo que $S x_\lambda=\lambda x_\lambda$. De hecho, es fácil ver que cada eigenector de $S$ con autovalor $\lambda$ es un múltiplo de a $x_\lambda$. También tenemos $\Vert x_\lambda\Vert^2=(1-\vert\lambda\vert^2)^{-1}$.

Definir el lineal mapa de $T\colon V\to V$ por $$ Tf(a) = (r_aS+z_a)f(a). $$ Como $B_{r_a}(z_a)\subseteq B_1(0)$ este es un delimitada mapa con la norma $\Vert T\Vert\le1$. Tenga en cuenta que $f\in V$ es un autovector de a $T$ con autovalor $\lambda$ si y sólo si $f(a)$ es proporcional a $x_{(\lambda-z_a)/r_a}$ siempre $\lambda\in B_{r_a}(z_a)$ $f(a)=0$ lo contrario.

Ahora, para cualquier $\alpha,\beta\in\mathbb{C}$ $\vert\alpha\vert+\vert\beta\vert < 1$ definir $U_{\alpha,\beta}\colon\ell^2\to\ell^2$ por $$ U_{\alpha,\beta}f(n)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\alpha^{n-k}\beta^kf(n-k). $$ Este es un delimitada operador lineal con la norma $$ \begin{align} \Vert U_{\alpha,\beta}\Vert&\le\sum_{k=0}^\infty\sup_{n\ge k}\binom{n}{k}\vert\alpha^{n-k}\beta^k\vert\le\sum_{k=0}^\infty\sum_{n=k}^\infty\binom{n}{k}\vert\alpha^{n-k}\beta^k\vert\cr &=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\vert\alpha^{n-k}\beta^k\vert=\sum_{n=0}^\infty(\vert\alpha\vert+\vert\beta\vert)^n\cr &=\left(1-\vert\alpha\vert-\vert\beta\vert\right)^{-1}. \end{align} $$ Se puede observar que este mueve los vectores propios de a $S$ según $U_{\alpha,\beta}x_\lambda=x_{\alpha\lambda+\beta}$ y, además, satisface la conmutación de la relación de $SU_{\alpha,\beta}=U_{\alpha,\beta}(\alpha S+\beta)$ (sólo tiene que comprobar que esto tiene sobre los vectores propios $x_\lambda$). Definir el mapa de $U\colon V\to V$ por $$ Uf(a)=\sum_{k\in[N]}U_{1/2,z_k}f(a\cdot k). $$ Esto ha finito norma, $$ \Vert U\Vert\le\sum_{k\in[N]}\Vert U_{1/2,z_k}\Vert < \infty. $$ Además, a partir de las relaciones de conmutación para $S,U_{\alpha,\beta}$, se puede observar que $T$ $U$ viaje. Fijación $c\in\mathbb{C}$$0 < \vert c\vert < 1$, vamos a $H$ el conjunto de $f\in V$$Uf=cf$, que es un subespacio cerrado de $H$. Deje $T_H\colon H\to H$ ser la restricción de $T$$H$.

Con el (más bien largo!) el programa de instalación de hecho, se puede demostrar que $T_H$ tiene las propiedades requeridas. La elección de cualquiera de $\lambda\in\bar B_{1/2}(0)$ podemos mostrar que hay un $f\in H$$Tf=\lambda f$, por lo que el $\bar B_{1/2}(0)\subseteq\sigma_p(T_H)$. Por construcción, hay una secuencia $a_0,a_1,a_2,\ldots\in[N]$ de manera tal que, establecimiento $a_{(n)}=(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1})\in[N]^n$ $\lambda\in\bar B_{\frac{r_{a_{(n)}}}{2}}(z_{(n)})$ por cada $n\in\mathbb{N}$. Definir $f\in H$ $f(a_{(n)})=c^nx_{(\lambda-z_{a_{(n)}})/r_{a_{(n)}}}$ $f(b)=0$ todos los $b\in[N]^\ast$ no es igual a ninguna de las $a_{(n)}$. Tenemos que comprobar que este tiene finita de la norma, por lo que es realmente en $H$. Como $\lambda\in\bar B_{\frac{r_{a_{(n)}}}{2}}(z_{(n)})$,$\Vert f(a_{(n)})\Vert^2\le\vert c\vert^{2n}(1-1/4)^{-1}$. Así, $$ \Vert f\Vert^2\le\sum_n \frac43\vert c\vert^{2n}=\frac{4}{3(1-\vert c\vert^2)} < \infty. $$ También, $T f=\lambda f$ $\sigma_p(T_H)\supseteq\bar B_{1/2}(0)$ como se requiere.

Ahora elegir cualquier vacío cerrado $K\subseteq\bar B_{1/2}(0)$, vamos a $H_K$ ser el subespacio cerrado de $H$ generado por los vectores propios de a $T_H$ $T_K\colon H_K\to H_K$ ser la restricción de $T$$H_K$. Automáticamente nos han $K\subseteq\sigma_p(T_K)\subseteq\sigma(T_K)$, por lo que solo necesita ser demostrado que $\sigma(T_K)\subseteq K$. Es decir, la fijación de $\lambda\in\mathbb{C}\setminus K$, tenemos que mostrar que $\lambda-T_K$ es invertible. Deje $d$ ser la distancia de $\lambda$ para el conjunto de $K$, y elija $n\ge0$, de modo que $d > 2^{1-n}$. Definir el lineal mapa de $W\colon V\to V$ por $$ Wf(a)=1_{\lbrace un\in[N]^m,m\ge n\rbrace}1_{\lbrace B_{r_a}(z_a)\cap K\=\emptyset\rbrace}(\lambda-r_aS-z_a)^{-1}f(a). $$ Tenga en cuenta que si $B_{r_a}(z_a)\cap K\not=\emptyset$ $a\in[N]^m$ algunos $m\ge n$ $z_a$ está dentro de$r_a$$K$. Por eso, $\vert\lambda-z_a\vert\ge d-r_a$ y, por lo tanto, $$ \Vert(\lambda-r_aS-z_a)^{-1}\Vert\le r_a^{-1}(\vert\lambda-z_a\vert/r_a-1)^{-1}\le(d-2r_a)^{-1}\le(d-2^{1-n})^{-1}. $$ Por lo $W$ es un operador acotado con $\Vert W\Vert\le(d-2^{1-n})^{-1}$.

Si $f\in H$ es un autovalor de a $T$ con autovector $\mu\in K$, luego tenemos a $f(a)=0$ siempre $B_{r_a}(z_a)\cap K=\emptyset$. Por eso, $(\lambda-T)Wf(a)=W(\lambda-T)f(a)=f(a)$ todos los $a\in[N]^m$$m\ge n$. Tan, si también tenemos $f\in H_K$, luego $$ c^{-n}U^nW(\lambda-T)f=f. $$ Por eso, $L\Vert(\lambda-T)f\Vert\ge\Vert f\Vert$ todos los $f\in H_K$, donde he puesto $L=\vert c\vert^{-n}\Vert U^n\Vert$. Podemos definir a la $(\lambda-T_K)$ primero por la definición de los vectores propios con autovalores $\mu\in K$ (que es simplemente la multiplicación por $(\lambda-\mu)^{-1}$, así que está bien definido), señalando que este es un lineal mapa en el espacio generado por los autovalores con la norma acotada por $L$ y, por lo tanto, tiene una única extensión continua a $H_K$. Por eso, $\lambda\not\in\sigma(T_K)$, mostrando que el $\sigma(T_K)\subseteq K$ como se requiere.

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Ahora, considere el caso donde $K_1$ es un F_σ conjunto y $K_2$ es de su cierre (que se supone ser no vacío y acotado). Entonces, podemos escribir $K_1=\bigcup_{n=1}^\infty K_{1,n}$ para no vacío conjuntos cerrados $K_{1,n}$. Por escalamiento, suponemos que a $K_2\subseteq\bar B_{1/2}(0)$. Deje $H$ ser el espacio de Hilbert separable y $T\colon H\to H$ ser el delimitada lineal mapa descrito anteriormente. A continuación, $H_{K_{1,n}}$ es el subespacio cerrado de $H$ generado por los vectores propios de a $T$ con valores propios en $K_{1,n}$ $T_{K_{1,n}}\colon H_{K_{1,n}}$ es la restricción de $T$$H_{K_{1,n}}$. Como se explicó anteriormente, $\sigma_p(T_{K_{1,n}})=\sigma(T_{K_{1,n}})=K_{1,n}$. También, $\Vert T_{K_{1,n}}\Vert\le\Vert T\Vert$. Set $\tilde H=\oplus_n H_{K_{1,n}}$ que es un espacio de Hilbert separable, entonces es isomorfo a $\ell^2$. Definir $\tilde T\colon\tilde H\to\tilde H$$\tilde T\oplus_n T_{K_{1,n}}$. Este es un delimitada lineal mapa con $\Vert\tilde T\Vert\le\Vert T\Vert$ y el punto de espectro $\bigcup_n K_{1,n}=K_1$. Solo necesita ser demostrado que $\sigma(\tilde T)\subseteq K_2$ o, de manera equivalente, para cualquier $\lambda\in\mathbb{C}\setminus K_2$ que $\lambda-\tilde T$ es invertible. Si su inversa existe, debe ser de la forma $(\lambda-\tilde T)^{-1}=\oplus_n(\lambda-T_{K_{1,n}})^{-1}$ a que la norma $\sup_n\Vert(\lambda-T_{K_{1,n}})^{-1}\Vert$. Necesita ser demostrado que esta norma es finito. Tenga en cuenta que, como $\lambda\not\in K_2$ $\lambda-T_{K_2}$ es invertible, y $\lambda-T_{K_{1,n}}$ es sólo su restricción a $H_{K_{1,n}}$. Por eso, $\Vert(\lambda-T_{K_{1,n}})^{-1}\Vert\le\Vert(\lambda-T_{K_2})^{-1}\Vert$ está delimitado de forma independiente de $n$, según se requiera.

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Finalmente, considerar el caso general donde $K_1$ es un F_σ conjunto y $K_2\supseteq K_1$ es cerrado, acotado y no vacío. En el caso de que $K_1$ está vacío, entonces tenemos que encontrar un operador acotado con punto vacío del espectro y dado el espectro de $K_2$. Si $K_1$ es no vacío, a continuación, un operador de la forma $T_1\oplus T_2$ $\ell^2\oplus\ell^2$ va a trabajar, donde $T_1$ tiene punto de espectro $K_1$ y el espectro de $K_2$. En cualquiera de los casos, se reduce a encontrar un almacén lineal operador $T$ con punto vacío de espectro y el espectro de un determinado cerrado, acotado y no vacío set $K$. Definir el derecho de cambio de $S\colon\ell^2\to\ell^2$$Sf(n)=1_{\lbrace n\ge1\rbrace}f(n-1)/n$. A continuación, $S^kf(n)=1_{\lbrace n\ge k\rbrace}f(n-k)/(n(n-1)\cdots(n-k+1))$. Por eso, $\Vert S^k\Vert=1/k!$. Por lo tanto, para cualquier $\lambda\in\mathbb{C}$ $\lambda\not=0$ hemos $$ \begin{align} &(\lambda-S)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-1-n}S^n\cr &\Vert(\lambda-S)^{-1}\Vert\le\sum_{n=0}^{\infty}\vert\lambda\vert^{-1-n}/n!=\vert\lambda\vert^{-1}\exp(\vert\lambda\vert^{-1}). \end{align} $$ Por eso, $S$ ha espectro de $\lbrace0\rbrace$. Es fácil ver que no tienen autovalores, tan vacía punto del espectro. Ahora elija una secuencia $z_1,z_2,\ldots$ denso en $K$ y establezca $T=\oplus_n(S+z_n)$. Esto ha vacía punto de espectro y el espectro que contiene $z_n$, lo $\sigma(T)\supseteq K$. Por otro lado, si $\lambda\not\in K$ a continuación, dejando $d$ ser la distancia de $\lambda$$K$, los operadores de $(\lambda-s-z_n)^{-1}$ han norma acotada por $d^{-1}\exp(d^{-1})$. Por eso, $(\lambda-T)^{-1}=\oplus_n(\lambda-S-z_n)^{-1}$ es un delimitada lineal operador, y $\lambda\not\in\sigma(T)$. Por lo tanto, $\sigma(T)=K$.