Soluciones débiles al problema de Neumann (EDP de Evans)

Question

Sea $U$ estar conectados. Una función $u \in H^1(U)$ es una solución débil del problema de Neumann \begin{equation} (*)\qquad\left\{ \begin{array}{rl} -\Delta = f & \text{in } U \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} = 0 & \text{on } \partial U \end{array} \De acuerdo. \fin{ecuación} si $$ \int_U Du \cdot Dv \; dx = \int_Ufv \; dx $$ para todos $v \in H^1(U)$ . Sea $f\in L^2(U)$ . Prueba $(*)$ tiene una solución débil si y sólo si $$ \int_U f \; dx =0. $$

Para la parte "sólo si" he puesto $v=1$ . Sin embargo no veo por donde empezar la parte de si. Estaba pensando en el teorema de Lax-Milgram. Ahí es donde estoy ahora.

Answer 1

Para el problema de Neumann $\,(\ast)\,$ en un dominio acotado $U\subset\mathbb{R}^n$ , $n\geqslant 2$ satisfaciendo la condición del cono, para demostrar que la suposición $$ f\in \{ L^2(U)\,\colon\;\int\limits_{U}f\,dx=0\}\tag{1} $$ implica la existencia de una solución débil $u\in H^1(U)$ es conveniente introducir el espacio $$ \widetilde{H}^1(U)=\{w\in H^1(U)\colon\,\int\limits_{U}\!w\,dx=0\}. $$ Observe que $\widetilde{H}^1(U)$ es un espacio de Hilbert con producto interior $$ (u,v)\overset{\rm def}{=}\int\limits_{U}\nabla u\cdot\nabla v\,dx $$ que cumpla la condición $$ (u,u)=0\;\;\Longrightarrow\;\;u=0 $$ en virtud de la desigualdad de Poincaré $$ \|u\|^2_{L^2(U)}\leqslant C\int\limits_{U}|\nabla u|^2\,dx \quad \forall\,u\in \widetilde{H}^1(U)\tag{2} $$ que requiere cierta regularidad de la frontera $\partial U$ . Nótese que la condición del cono no es precisamente la regularidad de $\partial U$ para $(2)$ simplemente resulta ser la restricción general adecuada menos complicada sobre $\partial U$ . Denotemos $$ \bar{u}\overset{\rm def}{=}\frac{1}{|U|}\int\limits_{U}u\,dx, $$ con notación $|U|$ de pie para la $n$ -medida de Lebesgue dimensional del dominio $U\subset \mathbb{R}^n$ . Desde $u-\bar{u}\in \widetilde{H}^1(U)$ para cualquier $u\in H^1(U)$ la desigualdad de Poincaré también puede reescribirse en la forma $$ \|u-\bar{u}\|^2_{L^2(U)}\leqslant C\int\limits_{U}|\nabla (u-\bar{u})|^2\,dx =C\int\limits_{U}|\nabla u|^2\,dx \quad \forall\,u\in H^1(U). $$         El resto de la prueba es fácil. Consideremos un funcional lineal $$ \Lambda(v)=\int\limits_{U}fv\,dx $$ en $\widetilde{H}^1(U)$ . Debido a $(2)$ la función lineal $\Lambda$ está limitada en el espacio de Hilbert $\widetilde{H}^1(U)$ . Por lo tanto, por el teorema de la representación de Riesz, existe una única $u\in\widetilde{H}^1(U)$ tal que $$ \Lambda(v)=(u,v)\quad \forall\,v\in \widetilde{H}^1(U),\tag{3} $$ lo que implica inmediatamente la identidad integral $$ \int\limits_{U}\nabla u\cdot\nabla v\,dx=\int\limits_{U}fv\,dx \quad \forall\,v\in \widetilde{H}^1(U).\tag{4} $$ Para completar la prueba, observe que, de hecho, $(4)$ también es válida para todos los $u\in H^1(U)$ . En efecto, debido a la hipótesis $(1)$ para cualquier $v\in H^1(U)$ tenemos $$ \int\limits_{U}fv\,dx=\int\limits_{U}f(v-\bar{v})\,dx= \int\limits_{U}\nabla u\cdot\nabla (v-\bar{v})\,dx= \int\limits_{U}\nabla u\cdot\nabla v\,dx $$ en virtud de $(3)$ desde $v-\bar{v}\in \widetilde{H}^1(U)$ . Por lo tanto, existe un único $u\in\widetilde{H}^1(U)\subset H^1(U)$ tal que $$ \int\limits_{U}\nabla u\cdot\nabla v\,dx=\int\limits_{U}fv\,dx \quad \forall\,v\in H^1(U). $$ Q.E.D

Observación.   Al ser válido para formas bilineales reales generales, no necesariamente simétricas, el teorema de Lax-Milgram parece demasiado avanzado para este caso bastante trivial en el que todos los axiomas del producto interior los cumple la forma bilineal simétrica $\,(\cdot,\cdot)$ . En general, el teorema de Lax-Milgram debe aplicarse en los casos en que el teorema de la representación de Riesz es inaplicable, Por ejemplo en el caso de un problema de Dirichlet para la ecuación $-\Delta u+\partial_{x_m}u=f$ .