Considerando $ (1+i)^n - (1 - i)^n $, Análisis Complejo

Question

He estado trabajando en problemas de Análisis Complejo de Ahlfors, y me quedé atascado en el siguiente problema: Evaluar:

$$ (1 + i)^n - (1-i)^n $$

Acabo de "reducir" a:

$$ (1 + i)^n - (1-i)^n = \sum_{k=0} ^n i^k(1 - (-1)^k) $$

usando la expansión de cada término.

Gracias.

Answer 1

Hay varias técnicas ingeniosas que uno podría utilizar en este problema, pero Ahlfors no llega a la conjugación y módulo hasta la sección 1.3 y la geometría del plano complejo hasta la Sección 2 (del Capítulo 1), mientras que esto todavía está en la 1.1. [Busqué mi copia de la tercera edición para ver cuánto se discutió hasta ese punto.]

abel muestra un enfoque utilizando el teorema del binomio que se encuentra dentro de los medios (bastante) limitados disponibles. Dado lo que cubre el autor en esta sección, esta es otra posibilidad:

$$ ( 1 \ + \ i )^n \ + \ ( 1 \ - \ i )^n \ \ = \ \ ( 1 \ + \ i )^n \ \left[ \ 1 \ + \ \frac{( 1 \ - \ i )^n}{( 1 \ + \ i )^n} \ \right] $$

$$ = \ \ ( 1 \ + \ i )^n \ \left[ \ 1 \ + \ \left(\frac{ 1 \ - \ i }{ 1 \ + \ i } \right)^n \ \right] \ \ = \ \ ( 1 \ + \ i )^n \ \left[ \ 1 \ + \ \left(\frac{ [ \ 1 \ - \ i \ ] \ [ \ 1 \ - \ i \ ] }{ [ \ 1 \ + \ i \ ] [ \ 1 \ - \ i \ ] } \right)^n \ \right] $$

[el conjugado se está aplicando como se muestra en esa sección, pero Ahlfors aún no lo ha llamado así]

$$ = \ \ ( 1 \ + \ i )^n \ \left[ \ 1 \ + \ \left(\frac{ 1 \ - \ 2i \ - \ 1 }{ 2 } \right)^n \ \right] \ \ = \ \ ( 1 \ + \ i )^n \ [ \ 1 \ + \ ( - i) ^n \ ] \ \ . $$

Ahora se puede aplicar el teorema del binomio al primer factor:

$$ ( 1 \ + \ i )^n \ + \ ( 1 \ - \ i )^n $$ $$ = \ \ \left( \ 1 \ + \ \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right) i \ + \ \left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right) i^2 \ + \ \ldots \ + \ \left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array} \right) i^{n-1} \ + \ i^n \ \right) \ [ \ 1 \ + \ ( - i) ^n \ ] \ \ . $$

[La versión "con error tipográfico" del problema que David Cardozo publicó originalmente es análoga:

$$ ( 1 \ + \ i )^n \ - \ ( 1 \ - \ i )^n $$ $$ = \ \ \left( \ 1 \ + \ \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right) i \ + \ \left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right) i^2 \ + \ \ldots \ + \ \left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array} \right) i^{n-1} \ + \ i^n \ \right) \ [ \ 1 \ - \ ( - i) ^n \ ] \ \ . \ \ ] $$

$ \ \ $

Presumiblemente, nos gustaría consolidar un poco esto. Debido a ese término $ \ (-i)^n \ $ en el segundo factor, ese factor tiene un ciclo de período 4. Vemos que este producto es cero para $ \ n \ = \ 4m \ + \ 2 \ $ , con enteros $ \ m \ \ge \ 0 \ $ . [Estos estarán "fuera de fase" con las expresiones de abel, ya que estoy utilizando la versión del problema de Ahlfors.]

Para los otros casos, escribiremos el primer factor como

$$ \left[ \ 1 \ - \ \left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right) \ + \ \left( \begin{array}{c} n \\ 4 \end{array} \right) \ + \ \text{etc.} \ \right] \ \ + \ \ i \ \left[ \ \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right) \ - \ \left( \begin{array}{c} n \\ 3 \end{array} \right) \ + \ \left( \begin{array}{c} n \\ 5 \end{array} \right) \ - \ \text{etc.} \ \right] \ \ . $$

Para $ \ n \ = \ 4m \ $ , el factor $ \ [ \ 1 \ + \ ( - i) ^n \ ] \ = \ 2 \ $ y la parte imaginaria de la serie binomial es cero, debido a la simetría de los coeficientes binomiales. La parte real también se simplifica debido a esta simetría, por lo que tenemos

$$ ( 1 \ + \ i )^{4m} \ + \ ( 1 \ - \ i )^{4m} \ \ = \ \ \left[ \ 2 \cdot 1 \ - \ 2 \ \left( \begin{array}{c} 4m \\ 2 \end{array} \right) \ + \ 2 \ \left( \begin{array}{c} 4m \\ 4 \end{array} \right) \ - \ \ldots \ + \ \left( \begin{array}{c} 4m \\ 2m \end{array} \right) \ \right] \cdot \ 2 \ \ . $$

Los casos restantes son algo más complicados de trabajar: para $ \ n \ = \ 4m \ + \ 1 \ $ y $ \ n \ = \ 4m \ + \ 3 \ $ , respectivamente, obtenemos

$$ \left( \ \left[ \ 1 \ - \ \left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right) \ + \ \left( \begin{array}{c} n \\ 4 \end{array} \right) \ \ldots \ \pm \ n \ \right] \ \ + \ \ i \ \left[ \ n \ - \ \left( \begin{array}{c} n \\ 3 \end{array} \right) \ + \ \left( \begin{array}{c} n \\ 5 \end{array} \right) \ \ldots \ \pm \ 1 \ \right] \ \right) \ \cdot \ ( 1 \ \mp \ i) \ \ . $$

Para cualquiera de estos casos, dado que $ \ n \ $ es impar, el número de coeficientes binomiales es par. Por lo tanto, la parte real tiene la simetría en la que la primera mitad de los términos son idénticos a la segunda mitad de ellos; además, la simetría entre los coeficientes produce una suma que siempre es una potencia de 2 . En la parte imaginaria, no obtenemos una simple alternancia de signos (que sabemos que da una suma de cero para los coeficientes binomiales), pero las señales de "doble alternancia" resultan tener el mismo efecto; la parte imaginaria también es cero para estos casos.

Por lo tanto, la expresión $ \ ( 1 \ + \ i )^n \ + \ ( 1 \ - \ i )^n \ $ siempre es real; mediante un razonamiento análogo, la expresión $ \ ( 1 \ + \ i )^n \ - \ ( 1 \ - \ i )^n \ $ siempre es puramente imaginaria. Encontramos las secuencias (incluyendo los valores que presenta abel) para $ \ 0 \ \le \ n \ \le \ 9 \ $

$$ \ ( 1 \ + \ i )^n \ + \ ( 1 \ - \ i )^n \ \ : \ \ 2 \ , \ 2 \ , \ 0 \ , \ -4 \ , \ -8 \ , \ -8 \ , \ 0 \ , \ 16 \ , \ 32 \ , \ 32 \ \ \text{and} $$

$$ \ ( 1 \ + \ i )^n \ - \ ( 1 \ - \ i )^n \ \ : \ \ 0 \ , \ 2i \ , \ 4i \ , \ 4i \ , \ 0 \ , \ -8i \ , \ -16i \ , \ -16i \ , \ 0 \ , \ 32i \ \ . $$

[Por cierto, estos resultados indican las identidades interesantes$ ^* $

$$ ( 1 \ + \ i )^{4m} \ + \ ( 1 \ - \ i )^{4m} \ \ = \ \ ( 1 \ + \ i )^{4m+1} \ + \ ( 1 \ - \ i )^{4m+1} \ \ \text{y} $$

$$ ( 1 \ + \ i )^{4m+2} \ - \ ( 1 \ - \ i )^{4m+2} \ \ = \ \ ( 1 \ + \ i )^{4m+3} \ - \ ( 1 \ - \ i )^{4m+3} \ \

Answer 2

Ok. podemos usar el teorema del binomio. vamos a verificar para valores pequeños de $n.$

caso $n = 1, \ z_1 = 1+ i -(1-i) = 2i$

caso $n = 2, \ z_2 = (1+i)^2 - (1-i)^2 =(1 + 2i + i^2) -(1 - 2i + i^2) = 2(2i) = 4i

caso $n = 3, \ z_2 = (1+i)^3 - (1-i)^3 =(1 + 3i + 3i^2 + i^3) -(1 - 3i + 3i^2 - i^3) = 2(3i +i^3) = 4i

caso $n = 4, \ z_4 = (1 + i)^4 - (1 - i)^4 =2(4i + 4i^3) = 0

caso $n = 5, \ z_5 = (1 + i)^5 - (1 - i)^5 =2(5i + 10i^3 + i^5) = -8i

caso $n = 6, \ z_6 = (1 + i)^6 - (1 - i)^6 =2(6i + 20i^3 + 6i^5) = -16i

caso $n = 7, \ z_7 = (1 + i)^7 - (1 - i)^7 =2(7i + 35i^3 + 21i^5 + i^7) = -16i

caso $n = 8, \ z_8 = (1 + i)^8 - (1 - i)^8 =2(8i + 56i^3 + 56i^5 + 8i^7) = 0

entonces parece que la fórmula se puede clasificar en cuatro clases:

si $n$ es un múltiplo de $4,$ entonces $z_n = 0

si $n = 4k+1,$ entonces $z_n = (2i)^{(n+1)/2}$

si $n = 4k+2, 4k+3,$ entonces $z_n = 2(2i)^{(n+1)/2}$

Answer 3

Un número complejo tiene tanto un módulo como un ángulo. El módulo es la norma. Sea $z=x+yi$. Entonces el módulo es $$ \lvert z\rvert =\sqrt{x^2+y^2} $$ y el ángulo es $$ \phi = \arctan(y/x). $$ Ahora puedes escribir el número complejo en forma exponencial $$ z=\lvert z\rvert e^{i\phi}. $$ Deberías ser capaz de continuar una vez que conviertas los números complejos a forma exponencial. Recuerda prestar atención al cuadrante cuando tomes el arctan.

Answer 4

Usando la geometría de los números complejos (que es lo mismo que se dijo en los comentarios, con diferentes palabras), $(a+bi)^n$, como la multiplicación de un número por sí mismo n veces. Entonces, al multiplicar dos números complejos, se multiplican sus módulos y se suman los argumentos. $1+i$ tiene longitud $(1+1)^{1/2}$ y tiene argumento $\pi/4$. Ahora puedes poner $1-i$ en la misma forma y ver qué sucede cuando elevas el número a la potencia $n$.