¿Son legales las sustituciones complejas en la integración?

Question

Esta pregunta ha sido irritante de mí por un tiempo, así que pensé en preguntar aquí.

Son complejas las sustituciones en la integración de bien? Puede que la siguiente sustitución utiliza para evaluar las integrales de Fresnel:

$$\int_{0}^{\infty} \sin x^2\, dx=\operatorname {Im}\left( \int_0^\infty\cos x^2\, dx + i\int_0^\infty\sin x^2\, dx\right)=\operatorname {Im}\left(\int_0^\infty \exp(ix^2)\, dx\right)$$

Dejando $ix^2=-z^2 \implies x=\pm\sqrt{iz^2}=\pm \sqrt{i}z \implies z=\pm \sqrt{-i} x \implies dx = \pm\sqrt{i}\, dz$

Por lo tanto la integral se convierte en

$$\operatorname {Im}\left(\pm \sqrt{i}\int_0^{\pm\sqrt{-i}\infty} \exp(z^2)\, dz\right)$$

Este paso requiere de algún tipo de justificación, y yo estoy esperando que alguien me puede ayudar a justificar este paso así: $$\pm \sqrt{i}\int_0^{\pm\sqrt{-i}\infty} \exp(z^2)\, dz=\pm\sqrt{i}\int^\infty_0\exp(z^2)\, dz=\pm\sqrt{i}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)$$

Así

$$\operatorname {Im}\left(\int_0^\infty \exp(ix^2)\, dx\right)=\operatorname {Im}\left(\pm\frac{\sqrt{i\pi}}{2}\right)=\operatorname {Im}\left(\pm\frac{(1+i)\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}\right)=\pm\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$

Encontramos que la respuesta correcta es la parte positiva (simplemente demostrar que la integral es positivo, tal vez mostrando la integral se puede escribir como una corriente alterna suma de las integrales).

Alguien puede ayudar a justificar esta sustitución? Es esto legal?

Answer 1

Vamos a considerar la legalidad de hacer un real u-sustitución, tales como $z = \sqrt{i} x$. No sólo el integrando debe ser reescrito, así como los límites de integración.

En el original de la integral definida tiene $x$, al pasar de $0$$\infty$. Por supuesto, esto a continuación se da una vía de integración para $z$, pero no es suficiente tener sólo los límites de $0$ $\infty$en el plano complejo para especificar la ruta de acceso. Así que esta sería una zona gris donde las limitaciones de su notación podía dejar abajo!

En el plano complejo hay muchos caminos de$0$$\infty$, incluso muchos recta esos caminos.

Answer 2

Una forma correcta de hacerlo puede ser la siguiente. Considere la integral del contorno$$ \oint_\Gamma e^{iz^2}\ dz $ $ donde$\Gamma$ es el triángulo orientado positivamente con vértices$0, R, R+Ri$ para grandes$R$. Dado que el integrando es analítico, el teorema de Cauchy dice que el resultado es$0$. Esto se puede escribir como$J_1 + J_2 + J_3=0$, donde$J_1, J_2, J_3$ son las integrales de los segmentos$[0, R]$,$[R, R+Ri]$ y$[R+Ri,0]$, respectivamente.
Mostrar que como$R \to +\infty$,$J_2 \to 0$ y$J_3 \to -(1+i) \dfrac{\sqrt{2 \pi}}{4}$. Así$J_1 \to (1+i) \dfrac{\sqrt{2 \pi}}{4}$, que dice que$$ \int_0^\infty \cos(t^2)\ dt = \int_0^\infty \sin(t^2)\ dt = \dfrac{\sqrt{2 \pi}}{4}$ $