Acerca de la integrabilidad de la función

Question

Que $f$ es una función integrable en $[0,1]$.

Definición de $g(x)=\int_x^b\frac{f(t)}{t}dt$ $0<x\leq 1$ y $g(0)=0$.

¿Cómo puedo mostrar que $g(x)$ es integrable?

Answer 1

La medida se deduce de la continuidad de la función$x\mapsto g(x)$ en cada$x\ne0$. La integrabilidad se sigue del teorema de Fubini, a saber $$ \ int_0 ^ 1 | g (x) | \ mathrm {d} x \ le \ int_0 ^ 1 \ int_x ^ 1 | f (y) | y ^ {- 1} D} y \ mathrm {d} x = (*). $$ Ahora, la integral doble está sobre el conjunto$0\le x\le y\le 1$ y, para cada$0\le y\le 1$, $$ \ int_0 ^ y \ mathrm {d} x = \ Int_0 ^ 1 | f (y) | \ mathrm {d} y, $ $ que es finito.