Demostrar la desigualdad: cuando $n > 2$, $n! < {\left(\frac{n+2}{\sqrt{6}}\right)}^n$

Question

Demostrar: Cuando $n > 2$, $$n! < {\left(\frac{n+2}{\sqrt{6}}\right)}^n$ $

PD: por favor no use el método de inducción matemática.

EDIT: lo sentimos, se me olvida otra limitante, este problema debe resolverse por la desigualdad media algebraica.

Gracias.

Answer 1

Esto solía ser una de mis favoritas de alta los problemas de la escuela. Esta es una estrategia: considerar la posibilidad de $y=\ln x$ y se dice que se desea integrar entre $1$$n$.

obviamente, la suma de las áreas de trapecio $<\int_1^n\ln x\mathrm{d}x$. A partir de esta desigualdad, se obtiene otra desigualdad: $$ n!<\left(\frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^{n-1}}\right) $$ A continuación, sólo se mostrará el siguiente desigualdad y listo: $$ \left(\frac{n^{n+\frac{1}{2}}}{e^{n-1}}\right)<{\left(\frac{n+2}{\sqrt{6}}\right)}^n $$

Answer 2

La fórmula de aproximación de Stirlings dice

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation

Por lo tanto, basta con mostrar$$n! = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\lambda_n}$ $

Este rendimiento

ps

Y creo que debería ser bastante sencillo probar esto ...

Answer 3

Voy a utilizar la desigualdad media geométrica. Supongamos que $$n!<\Bigg(\frac{n+2}{\sqrt{6}}\Bigg)^n\text{(for all $n > 2 $)}\rightarrow \sqrt{6}(n!)^{1/n}<(n+2)$ $ es verdad. Como $$(n!)^{1/n}\leq\frac{1+2+...+n}{n}=\frac{n(n+1)}{2n}=\frac{n+1}{2}\rightarrow$$ $$\rightarrow 2(n!)^{1/n}\leq n+1 \rightarrow 2(n!)^{1/n}<n+1 \text{ (for all $n > 1 $)}$ $ Summing tenemos $$(2+\sqrt{6})(n!)^{1/n}<2n+3\text{ (for all $n >$ de $)}$2% entonces $$(n!)^{1/n}<\frac{2n+3}{2+\sqrt{6}}\text{(for all $n > 2 $)}$ $ e $$(n!)^{1/n}<\frac{n+1}{2}\text{(for all $n > 2 $)}$ $ tienes que mostrar $$\frac{n+1}{2}>\frac{2n+3}{2+\sqrt{6}}\text{(for all $n > 1+\sqrt{6}$)}$$ ahora tenemos que comprobar casos $n=2$ y $3$ de las desigualdades iniciales, como las condiciones iniciales han cambiado como se calculó la diferencia entre las desigualdades de $2$.