Condiciones de parada en moneda de la secuencia de los bancos

Question

Imagínese que usted puede voltear una moneda hasta un número máximo de X veces. Te detenga si durante esta secuencia, la moneda cae en las colas de 3 veces en una fila. De lo contrario, mantener un tirón.

Repita este juego algún número N de veces.

El "mundo real" de la aplicación de este podría ser un shooter en un partido de baloncesto. Dicen que él puede disparar hasta X=25 veces (es decir, 25 potencial FGA), y N=82 (juegos en una temporada). Su entrenador le dice que deje de disparar si pierde 3 en una fila.

He simulado en este escenario y se encontró que la condición de parada no afecta a la probabilidad general de que la moneda caiga de cara. Esto parece contrario a la intuición para mí, ya que "se siente" (mi intuición me dice) que la condición de parada, de alguna manera sesgo de los resultados.

Puede alguien explicarme por qué la condición de parada aquí no afecta a la distribución global de las cabezas y las colas en este escenario?

Edit: Esto parece ser diferente de la "nacimiento problema" en que el valor de p no importa (es decir, que no tienen que ser de 1/2). La condición de parada en este caso parece no tener ningún efecto en la probabilidad total, independientemente del valor de la p. No me queda claro a partir de las respuestas para el nacimiento del problema de por qué esto tiene que ser el caso.

Answer 1

La probabilidad de "éxito" (de la cabeza, haciendo una cesta, etc.) es la limitante de la relación entre el número de éxitos para el número de ensayos, $p$.

Una forma para ejecutar la simulación es generar una muy larga secuencia binaria independiente de los ensayos con subyacente probabilidad de éxito $p$. Escanear a través de la secuencia, en busca de la parada de secuencia $S$ (donde $S$ es un éxito, en el caso de que el problema de nacimiento, o de tres fracasos consecutivos, en el baloncesto, por ejemplo). Inmediatamente después del final de cada aspecto de $S$ declarar el inicio de un nuevo experimento.

Por ejemplo, aquí es el comienzo de una secuencia con $p=1/3$, 1 designación de éxito y 0 fracaso, con $S$ a 010:

10010 010 0010 1010 10000011010 11110
    |   |    |    |           |     

Las garrapatas marca los extremos de cada experimento. Los últimos cinco resultados (11110) serían desechados en este corto de simulación debido a que el experimento de los que forman parte no final, dejando $27$ independiente de los valores aleatorios que comprende cinco experimentos. Fuera de estos $27$ valores $10$ fueron éxitos, en proporción $10/27$ (lo cual es consistente con $p=1/3 = 9/27$, pero varía de la misma debido a la casualidad).

Observe que la detención de cambios en las reglas de la secuencia ni un ápice: es simplemente marca los límites entre los sucesivos experimentos.

En un número finito de simulación que se tendrán que tirar todos los resultados después de la última aparición de $S$, pero a medida que la simulación crece cada vez más la posibilidad de que estos abandonados resultados constituyen apreciable proporción de todos los resultados se reduce a cero.

En consecuencia, la proporción de éxitos en la simulación no puede ser diferente (en el límite cuando el número de ensayos crece grande) que la proporción de éxitos en una larga secuencia independiente de los resultados: no se apartan de $p$ más de probabilidad de permisos.

Answer 2

Pensé que de una manera intuitiva para explicar esto (y la respuesta a mi propia pregunta). Resulta que si simplemente ignorar la parada y ver este problema como una suma de secuencias concatenadas, queda claro que no importa.

Imaginar obtenemos las siguientes secuencias de parada después de 3 sucesivas misses:

1 0 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1 0 0 0
0 0 0
1 0 0 0

Ahora, usted puede ver si usted simplemente concatenar estas secuencias, en general, la proporción de 1 y 0 es el mismo que si se da la vuelta a todos en la misma secuencia. La "parada" no importa en absoluto. Es sólo mental, una ruptura en la secuencia.

1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Hay que tener el mismo número de 1's y 0's. La condición de parada es un arenque rojo.