Isomorfismos de espacios de Banach

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son espacios de Banach cuyas doble espacios son isomorfos isométrica. ¿Es ciertamente verdad que $X$ $Y$ no necesita ser isométrica isomorfo, y debe ser verdad que existe un isomorfismo (no necesariamente isométrico) continuado de $X$ en $Y$?

Answer 1

Si X es cualquier contables, compacto espacio topológico, entonces considere el espacio de Banach C(X). El doble espacio es finito, medidas en X, pero como cualquier medida es countably aditivo, y X es contable, tomando algunos pedidos tenemos un isomorfismo isométrico entre C(X)* e $\ell_1$. Pero no todos los C(X) son isomorfos: puede encontrar la X por tomar una contables ordinal w y considerando el intervalo cerrado [0,t]. Todo esto está muy bien explicado en el libro "Temas de Espacio de Banach Teoría" por Albiac y Kalton.

Answer 2

Uno puede también observar que $c_{0}$ $\times$ (ℓ∞ $/c_{0}$) es un predual de (ℓ∞) $^*$.

Sin embargo, $c_{0}$ $\times$ (ℓ∞ $/c_{0}$) es no isomorfo a ℓ∞.

Answer 3

Hay no isomorfos preduals de $\ell_1$, pero me temo que no sé de referencia para este. Recientemente, Argyros y Haydon resuelto una larga abrir problema mediante la construcción de un predual de $\ell_1$ con extraordinarias propiedades; $c_0$ no han hecho el trabajo ...

En realidad, ahora me doy cuenta de que no estoy muy seguro acerca de la isométrico de la versión, es decir, qué sucede si usted asume los duales son isométrica y no sólo isomorfo. Pero yo estaría muy sorprendido si la respuesta a su pregunta es afirmativa.

Answer 4

De hecho, $\ell_1$ proporciona una fuerte contraejemplo. Como señaló Matt, los espacios C(X), donde X es contable y compacto, proporcionar nonisomorphic espacios de Banach cuya duales son isomorfos a $\ell_1$. Si X es contable y compacto (y Hausdorff, por supuesto!) entonces X es homeomórficos a un cerrado ordinal intervalo [0, una] (equipada con su orden natural topología) para algunos contables ordinal; este resultado se conoce como el Mazurkiewicz-Sierpinski teorema. Hace unos 50 años Bessaga y Pelczynski mostró que si un y b son infinitos contables de los números ordinales y un < b, entonces C([0, un]) es isomorfo a C([0, b]) si y sólo si b < un^** w, donde w denota el primer ordinal infinito. Por lo tanto C([0, w]) es isomorfo a C([0, w^2]), contrario a Gerald que la afirmación anterior. Por otra parte, el menos infinito ordinal b tal que C([0, b]) no es isomorfo a C([0, w]) es b = w^w. La combinación de la Mazurkiewicz-Sierpinski resultado con el Bessaga=Pelczynski resultado, uno tiene que cada espacio C(X), donde X es contable y compacto, es isomorfo a C([0, w^(w^*a*)]) para un único contables ordinal una. En particular, hay una cantidad no numerable de nonisomorphic espacios de Banach cuya duales son isométricamente isomorfo a $\ell_1$, es decir, los espacios C([0, w^(w^*a*)]), donde un varía con el conjunto de contables de los números ordinales.

$\ell_1$ tiene otros preduals demasiado. Por ejemplo, una de 1972, el papel de Israel Diario de Matemáticas por Yoav Benyamini y Joram Lindenstrauss exhibe un espacio de Banach E, cuyo dual es isométricamente isomorfo a $\ell_1$, pero el Correo no es isomorfo a cualquier espacio de la forma C(X).

Aunque Gerald afirmación de que el Cantor-Bendixson clasificación distingue entre espacios de funciones continuas sobre contables espacios compactos no es correcto, hay un rango/índice que hace distinguir entre las clases de isomorfismo de estos espacios, es decir, la Szlenk índice. De hecho, el Szlenk índice puede ser usado para demostrar la 'sólo si' la dirección de la Bessaga-Pelczysnki resultado.

Recomiendo el Capítulo 2 del libro Biorthogonal Sistemas en Espacios de Banach por Hajek et al si quieres leer sobre el Szlenk índice y una prueba de la Bessaga-Pelczynski resultado. Ese libro también contiene un esbozo de la prueba de la Mazurkiewicz-Sierpinski teorema; para un total cuenta de que el teorema recomiendo la Sección 8 de Semadeni del libro clásico de los espacios de Banach de funciones continuas.

Si quieres un ejemplo diferente, creo que la de James-árbol de espacio de JT iba a hacer. JT es separable, pero su dual es (al menos yo así lo creo - vale la pena consultar!) isométricamente isomorfo al doble de la suma directa de $*JT \oplus H*$, donde H es el espacio de Hilbert de dimensión igual a la cardinalidad del continuo. En particular, $*JT \oplus H*$ no puede ser isomorfo a JT porque tienen diferente densidad de los personajes, pero sus duales son isométricamente isomorfos. Si desea comprobar los detalles de este ejemplo, consulte el Capítulo 13 de la Albiac y Kalton libro recomendado anteriormente por Mateo.

Answer 5

Si K, L son espacios métricos compactos contables, entonces el isomorfismo de C(K) y C(L) depende de la fila de Cantor-Bendixson... Si el primer vacío deriva de K es K^(n) y el primer conjunto vacío derivado de L es L^(m) y \ne n m, entonces C(K) y C(L) no son isomorfos. Así, por ejemplo, C([0,w]) y C([0,w^2]) no son isomporphic. Pero (como se indica anteriormente) sus duales son isométricas a l ^ 1.