¿Existe una definición teórica del espacio proyectivo?

Question

Publiqué esto en mathOverflow anteriormente, que era el lugar equivocado para publicarlo y me pidieron que probara en este foro en su lugar. Puede alguien explicar esto en términos simples:

Conocí el espacio proyectivo a través de una reciente clase de dibujo en perspectiva, aunque no lo crea, pero no sabía que éste era el "espacio" que utilizábamos. Encontré una descripción más detallada buscando en la red. En un libro sobre topología de conjuntos de puntos que compré, se describe el espacio euclidiano n como un campo hecho de (lo siento, aún no sé escribir símbolos matemáticos):

[ {n-tuplas de reales}, Op("+"), Op(".") ]

Entonces, ¿cuál es la descripción teórica de conjuntos equivalente para el espacio proyectivo? No he podido encontrar ninguna en ningún sitio. Todo lo que he encontrado es que básicamente se construye tomando un plano regular y añadiendo la línea del "horizonte", pero quiero entender matemáticamente lo que es.

EDIT(2): Supongo que lo importante es el hecho de estar en la esfera. Creo que lo entiendo... Lo de los puntos antípodas menos el origen es como se describir la superficie de una esfera, ¿no es así? Las líneas paralelas en R3 chocarían con el límite esférico y luego convergerían NECESARIAMENTE al seguir esa nueva superficie curva... ¡¡¡Sí!!! :o)

Answer 1

Ver mi respuesta de MO. El punto es que una línea que pasa por el origen está determinada por un punto (en realidad un par de puntos) en la esfera, así que si quieres una $n$ -espacio dimensional, entonces hay que tomar líneas que pasen por 0 en $R^{n+1}$ .

Piensa en una línea que pasa por 0 como una "dirección". Por ejemplo, el espacio de las líneas que pasan por el 0 en $R^2$ es unidimensional. (De hecho, es un círculo.) En general, el espacio proyectivo no es lo mismo que un $n$ -Esfera dimensional porque dos puntos antípodas (extremos opuestos de un diámetro) representan la misma línea que pasa por 0, y por tanto el mismo punto del espacio proyectivo.

Por lo tanto, otra forma de definir $n$ -espacio proyectivo de dimensiones es como un cociente de un $n$ -de la esfera, identificando los puntos antipodales. El $n$ -se define como un subconjunto de $R^{n+1}$ .

Answer 2

Un espacio proyectivo es $\frac{V \setminus \underline{0}}{\sim}$ , donde $\sim$ es una relación de equivalencia definida como $\underline{x} \sim \underline{y} \Leftrightarrow \underline{x} = \rho \underline{y} \; \rho \in \mathbb{R}^{*}$ , $V$ es un espacio vectorial, $\underline{0}$ es el vector nulo y $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$ .

Básicamente, lo que dice la definición es que un espacio proyectivo es un espacio vectorial sin el vector cero y donde se identifican todos los vectores que son múltiplos unos de otros. Esto lleva a representaciones topológicas de los espacios proyectivos como la recta proyectiva, que se puede identificar como un círculo (si se añade el "punto en el infinito" en una recta, se cierra).

En cuanto a tu intuición, es correcta. Lo que ocurre en un espacio proyectivo es que se "añaden" unos "puntos en el infinito" que identifican una dirección (todas las líneas paralelas "terminan" en el mismo punto).

Como señala aaron, dado que qutientamos todos los múltiplos, el espacio proyectivo tiene una dimensión menor que el espacio vectorial con el que lo construimos.

EDIT: releyendo el comentario del OP, veo que he respondido sólo parcialmente. El punto de que el horizonte es un círculo se deriva de un modelo topológico del espacio proyectivo de 2 dimensiones (plano proyectivo). Puedes verlo como tu plano cartesiano "normal", donde añades un "círculo" en el infinito, donde se identifican todos los puntos antípodas. Esto significa que los puntos situados en la circunferencia en el primer cuadrante son los mismos que los puntos de la circunferencia en el tercero (lo mismo para el segundo y cuarto cuadrante). Esto es sólo una descripción de lo que dijo aaron: estás tomando todas las líneas desde el origen e identificando sus direcciones (sus "puntos en el infinito") para que todas las líneas paralelas terminen en el mismo punto. (Podría dibujar algo en el ordenador, pero quedaría muy tonto, porque no puedo programar nada que lo haga por mí automáticamente, así que tendría que usar el MS Paint) Así que, sí, el horizonte es en realidad un círculo y "en perspectiva" las líneas paralelas se encuentran "en el infinito", que fue la motivación para que los artistas empezaran a pensar matemáticamente en la perspectiva (este es, creo, uno de los orígenes históricos al plano proyectivo).

En cuanto a la recta proyectiva, hay que pensar en añadir un solo punto a una recta regular, digamos "en el infinito". Lo que ocurre es que la línea parte de este punto muy lejos y termina en este mismo punto (intuitivamente, una línea sólo tiene "un infinito" al que ir) por lo que se cierra en un círculo.

¿Esto es más explicativo? :)

Answer 3

El plano proyectivo, también llamado espacio proyectivo bidimensional, es por definición el conjunto de todas las rectas que pasan por el origen en el espacio euclidiano tridimensional. Por tanto, un "punto" en el espacio proyectivo es en realidad una recta que pasa por el origen $O$ en el espacio 3 ordinario.

Si fijas algún plano en el espacio 3 que no pase por el origen (toma el plano $z=1$ para ser concreto), entonces cada punto $P=(x,y,1)$ en ese plano corresponde a un único elemento en el plano proyectivo, a saber, la línea en el espacio 3 que pasa por $O$ y $P$ . Estas líneas (las que se cruzan con el plano $z=1$ ) son los "puntos finitos" del plano proyectivo, y se puede decir que tienen coordenadas finitas $(x,y)$ Por lo tanto, se parecen a los puntos de un plano euclidiano ordinario. Pero hay elementos adicionales en el plano proyectivo, a saber, las líneas que pasan por $O$ que se encuentran a lo largo del $xy$ -(de modo que nunca se cruzan con el plano $z=1$ ). Son estas líneas las que se denominan "puntos en el infinito" en el plano proyectivo (y que, a su vez, forman un espacio proyectivo unidimensional, la "línea proyectiva en el infinito", también conocida como "horizonte").