¿Es el mapa exponencial localmente un diffeomorphism w.r.t. base punto?

Question

Deje $M$ ser una de riemann colector y $\exp_p: T_pM \rightarrow M$ el mapa exponencial en $p \in M$.

En cada punto $p\in M$, $\exp_p$ puede ser restringido a un vecindario $V$$0\in T_pM$, de modo que $\exp_p|_V$ es un diffeomorphism. Deje $U\subset M$ el valor de la imagen de $V$ bajo este mapa.

La elección de una base ortonormales $\{E_i\}$ $T_p M$ y mediante el isomorfismo $E: \mathbb R^n \rightarrow T_pM$ donde $E(x^1, \dots, x^n)= x^iE_i$, da normal coordenadas $(U, \phi)$, donde $$ \phi := E^{-1} \circ \exp^{-1}_p: U \rightarrow \mathbb R^n $$

Mi pregunta es: podemos solucionar algunos $z\in \mathbb R^n$ (bastante pequeño) y tienen un pequeño vecindario $\widetilde{U}$$p$, de modo que la función de $\widetilde \phi$, que se define como $$ \widetilde{\phi}_z (p) := \exp_p ( E(z)) $$ es un diffeomorphism cuando se limita a $\widetilde{U}$?

(En la definición de $\widetilde \phi$, el isomorfismo $E$ también variará con $p$.)

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$"Sí". He aquí un boceto.

Deje $U$ ser una coordenada barrio sobre un punto de $p$ y deje $(E_{i})_{i=1}^{n}$ un ortonormales marco en $U$. La tangente bundle $TU$ se ha trivializado por la asignación de $E:U \times \Reals^{n} \to TU$ definido por $$ E(p, x) = \sum_{i} x^{i} E_{i}(p). $$ El buen mapeo $\Phi:U \times \Reals^{n} \to U \times M$ definido por $$ \Phi(p, z) = \bigl(p, \exp_{p} E(p, z)\bigr) := \bigl(p, \widetilde{\phi}_{z}(p)\bigr) $$ es un diffeomorphism en un barrio de $p \times \{0\}$ por el teorema de la función inversa. Además, la restricción $p \mapsto \Phi(p, 0) = (p, p)$ es la diagonal de la incorporación, a lo largo de la sección cero, la componente vertical de $\Phi$ es una inmersión. En consecuencia, existen barrios $\widetilde{U}$ $p$ $V$ $0$ tal que para $z$$V$, la asignación de $\widetilde{\phi}_{z}:\widetilde{U} \to M$ es un (liso, bijective) sumersión, es decir, un diffeomorphism a su imagen en $M$.