Cómo encontrar el mínimo de $ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

Question

Sea $a,b>0$ tal que $$a+b\le 1$$ Hallar el mínimo de $$ab+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$$

Mi intento: Puedo encontrar esta desigualdad de uso mínimo Holder

$$(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2})(a+b)^2\ge (1+1)^3=8$$ Pero $$ab\le \dfrac{(a+b)^2}{4}\le\dfrac{1}{4}$$ por lo que para $$ab+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$$ mínimo no lo encuentro,gracias

Answer 1

Aquí hay que tener cuidado al utilizar AM-GM para que no se infrinja la condición de restricción e igualdad. Por lo tanto reescribir el objetivo como:

$$\left(\frac12 ab+ \frac12 ab+\frac{1}{32a^2}+\frac{1}{32b^2}\right)+ \frac{31}{32}\left( \frac1{a^2}+\frac1{b^2}\right)$$ La primera parte es una suma de cuatro términos con producto constante. De ahí que se alcance el mínimo cuando cada término es el mismo. Por lo tanto para esta parte, $$\implies 16ab^3=16a^3b=1 \implies a=b=\tfrac12$$

Así que para la primera parte, el mínimo es $\frac12$ . Para la segunda parte, tenemos $$\frac1{a^2}+\frac1{b^2} = \left(\frac1a-\frac1b\right)^2+\frac2{a^2b^2} \ge 0+ \frac8{(a+b)^2} \ge 8$$ que también se consigue cuando $a=b=\frac12$ .

Por lo tanto, el mínimo del objetivo dentro de las restricciones se alcanza cuando $a=b=\frac12$ y el valor es $\frac{33}4$ .

Answer 2

Por AM-GM $$16ab+16ab+a^{-2}+b^{-2}\ge16$$ Pero $$2\sqrt{ab}\le a+b\le 1\implies ab\le\frac14\implies -31ab\ge-\frac{31}4$$ Sumando obtenemos, con igualdad iff $a=b=\frac12$ $$S\ge\frac{33}4$$

Answer 3

Dada: $$ab+\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}=ab+\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}+\frac {2}{ab}-\frac {2}{ab}$$ $$\Rightarrow ab+\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}=ab+(\frac 1a-\frac 1b)^2+\frac 2{ab}$$ Analicemos la RHS:
El valor mínimo de $(\frac 1a-\frac 1b)^2$ es 0 cuando a=b y el valor mínimo de $ab+\frac 2{ab}$ est $2\sqrt 2$ (desigualdad A.M.-G.M). Por lo tanto, el valor mínimo de la expresión requerida es $2\sqrt 2$