Definir el determinante de transformaciones lineales como forma alternante multilineal

Question

Aquí es lo que nuestro profesor nos mostró en nuestra clase de álgebra lineal para introducir la idea de determinantes:

Supongamos que tenemos una $n$-dimensional espacio vectorial $V$. Luego, se puede crear una función de $V^n$ $\mathbb{R}$llama $vol$ ("volumen") que satisface las siguientes propiedades:

$vol$ es multilineal
$vol$ es alterna (es decir, si dos de $v_1, \ldots, v_n$ es la misma,$vol(v_1, \ldots, v_n) = 0$)

A partir de estas dos propiedades, podemos ver que si $e_1, \ldots, e_n$ es una base de $V$, $vol$ función está completamente definido por el valor de $vol(e_1, \ldots, e_n)$.

Por lo tanto si $T$ es un operador lineal en $V$, la proporción:

$\dfrac{vol(Te_1, \ldots, Te_n)}{vol(e_1, \ldots, e_n)}$

es el mismo que para cualquier (multilineal y alterna) $vol$ función.

Sin embargo, estoy teniendo problemas para entender por qué la relación también es independiente de la base $e_1, \ldots, e_n$. Esto es lo que yo estoy pidiendo ayuda. Puedo ver que esta invariancia implica que, intuitivamente, todos los $n$-parallelotope es estirado por el mismo importe por el operador $T$.

(Nuestro profesor, a continuación, se define el determinante de a $T$ como la relación.)

Answer 1

Primera nota de que desde $T$ es lineal, $\mathrm{vol}_T(v_1, \dots, v_n) = \mathrm{vol} (T v_1 , \dots , T v_n )$ es también un multilineal alternada de la función.

Así que si usted va de $e_1, \dots , e_n$ a una base diferente, digamos, $b_1, \dots b_n$, entonces usted puede escribir el $b_i$ en términos de sus coordenadas con respecto a $e_1, \dots , e_n$:

$$ b_1= \sum_{i=1}^n b_{1} \, e_i,\quad b_2= \sum_{i=1}^n b_{2} \, e_i,\quad\dots \quad b_n= \sum_{i=1}^n b_{n} \, e_i. $$

Y la fórmula de Leibniz (que es una consecuencia directa de multinearity y alterna-ness), aplicados tanto a $\mathrm{vol}$ $\mathrm{vol}_T$ nos dice:

$$\mathrm{vol}(b_1 , \dots , b_n ) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \: b_{\sigma(1) 1} \cdots b_{\sigma(n) n} \cdot \mathrm{vol}(e_1, \dots , e_n)$$

$$\mathrm{vol} (T b_1 , \dots , T b_n ) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \: b_{\sigma(1) 1} \cdots b_{\sigma(n) n} \cdot \mathrm{vol}(T e_1, \dots , T e_n)$$

Así, si tomamos la relación $\displaystyle \frac{\mathrm{vol} (T b_1 , \dots , T b_n )}{\mathrm{vol} (b_1 , \dots , b_n )} $ todo lo demás se cancela y te dejan con la $ \displaystyle \frac{\mathrm{vol} (T e_1 , \dots , T e_n )}{\mathrm{vol} (e_1 , \dots , e_n )}$ nuevo.

Por supuesto, para todo esto, es importante que $\mathrm{vol} \neq 0$. Esta probablemente sea una restricción adicional a su profesor puso en el $\mathrm{vol}$ función.