Encontrando una ecuación plana dada dos líneas

Question

Determine una ecuación del plano que contiene las líneas$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-5}{6}$; $r=\lt1,-1,5\gt+t\lt1,1,-3\gt$.

Calculé el producto cruzado entre el vector direccional de ambas líneas para encontrar el vector normal$n$, pero cuando busqué un punto de intersección$r_0$ para aplicar la fórmula:$\lt r-r_0\gt \bullet \ \ n$, no lo hice encontrar cualquier.

¿Puedo usar el punto$\lt1,-1,5\gt$ dado en la línea$r$? ¿O no es posible encontrar una ecuación del plano que contiene dos líneas que no se cruzan?

Answer 1

La primera línea viene dada por$$L_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-5}{6}$$ and the symmetric form of the other line is $$L_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-5}{-3}.$$ Clearly, $ L_1 \ cap L_2$ is the point $ L_2$. Clearly, $$ and $% # Entonces, $$ V_1 \ times V_2 = \begin{vmatrix} \hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ 2&-1&6\\ 1&1&-3\\ \end {vmatrix} = \ hat {i} 3-6) - \ hat {j} (- 6-6) \ hat {k} (2 1) = - 3 \ hat {i} 12 \ hat {j} 3 \ hat {k}. $$ Así, la ecuación del plano que contiene$ are not parallel. Write $ y$V_1=2\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k}$ está dada por$ and $$V_2=\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}.$$L_1$ $

Answer 2

Debería regresar y revisar su trabajo. El punto$(1,-1,5)$ obviamente satisface la primera ecuación, y las líneas no son paralelas, así que si no estás recibiendo eso como punto de intersección estás cometiendo un error en alguna parte del camino.

Answer 3

<1, -1,5> es un punto en ambas líneas así que sí puedes usarlo como está en el plano.