¿Por qué hay sólo dos tangentes a una hipérbola desde un punto, en lugar de cuatro?

Question

¿Por qué sólo son posibles dos tangentes a una hipérbola desde un punto? Si tratamos la hipérbola como dos parábolas individuales, entonces un punto debe ser capaz de crear dos tangentes a través de ella para ambos, de ahí un total de 4.

Answer 1

El diagrama muestra un punto de $P$ entre los brazos de una hipérbola. También se muestra cómo los rayos que emanan de $P$ se dividen en cuatro regiones (denotado "Norte", "Sur", "Este", "Oeste") delimitada por $\overrightarrow{PA}$, $\overrightarrow{PB}$, $\overrightarrow{PC}$, $\overrightarrow{PD}$:

Los rayos en el Norte y Sur de las regiones nunca golpear la hipérbola. Los rayos en el Este y Oeste de las regiones de corte de la hipérbola.

El límite de los rayos son especiales.

• $\overrightarrow{PA}$ $\overrightarrow{PB}$ son tangentes a la hipérbola (en "finito" puntos).

• $\overrightarrow{PC}$ $\overrightarrow{PD}$ son paralelas a la (invisible) asíntotas de la hipérbola. (Muchas veces es útil pensar en ellos como siendo tangente a la hipérbola en el punto en el infinito", pero ese no es el sentido en el que usted está usando la tangencia.)

• (También es bueno saber que el rayo opuesto $\overrightarrow{PC}$ separa el "Western" de los rayos en dos sub-regiones: aquellos que cumplan con la hipérbola una vez, y aquellos que se encuentran con él dos veces; asimismo, el rayo opuesto $\overrightarrow{PD}$ sub-divide a los "Orientales" rayos.)

Moviendo $P$ puede alterar la naturaleza de los límites un poco; por ejemplo, si $P$ se encuentra directamente entre los vértices (pero, digamos, "oeste" de centro), a continuación, $\overrightarrow{PA}$ $\overrightarrow{PD}$ se convierten en las tangentes, mientras que $\overrightarrow{PB}$ $\overrightarrow{PC}$ son asíntota-parallels. Pero la idea general tiene aquí, y aparte de los casos en que $P$ coincide con la hipérbola de centro, siempre hay dos tangentes y dos asíntota-parallels.

De todos modos, el hecho de que una hipérbola tiene asíntotas (y por lo tanto de la región de delimitación de rayos paralelos a los asíntotas) se distingue entre la geometría de aquí de la de "dos parábolas", que no tienen asíntotas (y por lo tanto no existe la correspondiente región-delimitación de los rayos).

Answer 2

(consulte la figura) @wojowu @Blue @Shreyash Chaudhari

Aquí está una explicación matemática, utilizando la geometría proyectiva.

Consideremos el caso de una elipse : a partir de un punto dado fuera de una elipse, se puede trazar dos tangentes (sólo).

Si usted ha hecho geometría proyectiva, usted sabe que uno puede transformar cualquier sección cónica en cualquier otra, en particular, se puede asignar una hipérbola en una elipse, y viceversa.

Como puntos de contacto y sus tangentes son conservado en una transformación, hemos terminado.

Con un ejemplo, va a ser mejor; considerar la posibilidad de transformación proyectiva (P):

$$\begin{cases}X=\dfrac{2x}{x+y-1}\\Y=\dfrac{y}{x+y-1}\end{cases}$$

(P) "envía" a la elipse en la hipérbola, envía a $A(x,y)=(-1, 1)$ a $B(X,Y)=(2,-1)$ y mapas de las tangentes emitido por $A$ a la elipse en el tangentes emitido por $B$ a la hipérbola.

Doy a continuación el programa de Matlab que he hecho para esta foto.

clear all;close all;hold on; grid on;

set(gcf,'color','w');

set(0,'defaulttextfontsize',16);

set(0,'defaultlinelinewidth',2);

axis([-2,3,-2,2]);

Tx=@(x,y)(2*x./(x+y-1)); % proj. transf. equ.

Ty=@(x,y)(y./(x+y-1)); % cont

t=0:0.01:2*pi;

x=1+2*cos(2*t-pi/4); % elipse param. equ.

y=sin(2*t); % cont

plot(x,y);

parcela(Tx(x,y),T(x,y),'r')

x=[-1,-1,2.4];y=[-0.7,1,1];

plot(x,y,'-.b'); % dibuja la tangente a la elipse emitido por Una

parcela(Tx(x,y),T(x,y),'-.r'); % dibuja la tangente a la hipérbola emitido desde B

dispersión([-1,2],[1,-1],30,'lleno','k')

texto(-1.3,1.3,'A');text(2.1,-1.3,'B');