Mapas $\phi:C^{\infty}(Y) \rightarrow C^{\infty}(X)$ como los retrocesos

Question

Acabo de empezar a leer el libro de Joyce D-manifolds y d-orbifolds: una teoría de la geometría diferencial derivada y me he encontrado con una afirmación aparentemente inocua que no me queda del todo clara. Concretamente, en $\S$ 1.2 da la siguiente definición (en mis palabras):

A $\mathbf{C^{\infty}}$ -anillo es un par $(\mathfrak{C},\{\Phi_n\}_{n\geq 0})$ donde $\mathfrak{C}$ es un conjunto y $\Phi_n:C^{\infty}(\mathbb{R}^n)\rightarrow \text{Maps}(\mathfrak{C}^n,\mathfrak{C})$ satisface (eliminaré el subíndice $n$ (para que no se produzca ninguna confusión):

(i) Para cualquier $m,n\geq 0$ , $\ f_1,\cdots,f_m\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ y $g\in C^{\infty}(\mathbb{R}^m)$ podemos definir $h\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ por

$$ h(x_1,\cdots,x_n)=g(f_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,f_m(x_1,\cdots,x_n)). $$

Entonces, para cualquier $c_1,\cdots,c_n\in\mathfrak{C}$ , $\Phi$ debe satisfacer

$$ \Phi_h(c_1,\cdots,c_n)=\Phi_g(\Phi_{f_1}(c_1,\cdots,c_n),\cdots,\Phi_{f_m}(c_1,\cdots,c_n)). $$

(ii) Para todos los $1\leq j\leq n$ los mapas de proyección canónica $\pi_j:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ debe satisfacer

$$ \Phi_{\pi_j}(c_1,\cdots,c_n)=c_j $$

para todos $c_1,\cdots,c_n\in\mathfrak{C}$ .

Entonces existe una noción directa de morfismo entre estas estructuras:

A morfismo entre $C^{\infty}$ -anillos $(\mathfrak{C},\Phi)$ y $(\mathfrak{D},\Psi)$ es un mapa $\phi:\mathfrak{C}\rightarrow\mathfrak{D}$ tal que

$$ \begin{array}{ccc} \mathfrak{C}^n & \xrightarrow{\Phi_f} & \mathfrak{C} \\ \downarrow^{\phi^n} & & \downarrow^{\phi} \\ \mathfrak{D}^n & \xrightarrow{\Psi_f} & \mathfrak{D} \end{array}$$

desplazamientos para todos $f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ y $n\geq 0$ .

El ejemplo básico, tal y como sugiere el nombre de estos objetos, es $C^{\infty}(X)$ donde $X$ es una variedad lisa. Al definir

$$ [\Phi_f(c_1,\cdots,c_n)](x)=f(c_1(x),\cdots,c_n(x)) $$

para $f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ , $c_1,\cdots,c_n\in C^{\infty}(X)$ y $n\geq 0$ se obtiene claramente la estructura de un $C^{\infty}$ -anillo. Además, para un mapa suave $f:X\rightarrow Y$ el retroceso $f^{\ast}:C^{\infty}(Y)\rightarrow C^{\infty}(X)$ es claramente un morfismo de $C^{\infty}$ -anillos. Pero luego Joyce continúa diciendo,

Además (al menos para $Y$ sin límite), cada $C^{\infty}$ -morfismo de anillo $\phi:C^{\infty}(Y)\rightarrow C^{\infty}(X)$ es de la forma $\phi=f^{\ast}$ para un único mapa suave $f:X\rightarrow Y$ .

Mi(s) pregunta(s): ¿Por qué es esto cierto? ¿Cómo es el mapa $f$ construido? ¿Qué pasa con la construcción falla si $Y$ ¿tiene límites? ¿Esta afirmación es cierta independientemente de que $\phi$ es un $C^{\infty}$ -¿morfismo de anillo?

Lo que me vino inmediatamente a la mente fue definir $f:X\rightarrow Y$ por

$$ f(x) = g^{-1}(\phi(g)(x)), $$

para que $f^{\ast}(g)=g(g^{-1}(\phi(g)))=\phi(g)$ pero, por supuesto, esto sólo funciona si $g$ es suryente, y la ecuación $\phi=f^{\ast}$ sólo es válida para este $g$ . Sin embargo, no se me ocurre otra forma de encontrar $f$ ¿alguna sugerencia? ¿Referencias?

Answer 1

Habiendo tenido por fin un poco más de tiempo para retomar esta cuestión, he buscado un poco más y he encontrado que este resultado viene dado por la siguiente Proposición de Joyce Geometría algebraica sobre $C^{\infty}$ -anillos :

Proposición 3.3. Dejemos que $X,Y$ sean variedades con esquinas. Entonces el mapa $f\mapsto f^{\ast}$ a partir de mapas débilmente suaves $f:X\rightarrow Y$ a morfismos de $C^{\infty}$ -anillos $\phi:C^{\infty}(Y)\rightarrow C^{\infty}(X)$ es una correspondencia 1-1.

Aquí, $f:X\rightarrow Y$ es débilmente suave si es continua, y para cualquier gráfico $(U,\phi)$ y $(V,\psi)$ en $X$ y $Y$ respectivamente, entonces el mapa

$$ \psi^{-1}\circ f\circ\phi:(f\circ\phi)^{-1}(\psi(V))\rightarrow V $$

es suave como un mapa entre espacios euclidianos. Entonces se puede definir una noción de suavidad para los mapas entre variedades con esquinas como sigue (de Joyce En los colectores con esquinas , $\S$ 3):

Supongamos que $x\in X$ con $f(x)=y\in Y$ y $\beta$ es una componente local de frontera de $Y$ en $y$ . Dejemos que $(V,b)$ sea una función definitoria de la frontera para $Y$ en $(y,\beta)$ . Entonces $f^{-1}(V)$ es una vecindad abierta de $x$ en $X$ y $b\circ f : f^{−1}(V)\rightarrow [0,\infty)$ es un mapa débilmente suave. Requerimos que $b\circ f\equiv 0$ en un barrio abierto de $x$ en $f^{−1}(V)$ o $(f^{−1}(V),b\circ f)$ es una función de definición de límites para $X$ en $(x,\tilde{\beta})$ para alguna componente local única del límite $\tilde{\beta}$ de $X$ en $x$ .

En cualquier caso, en el caso de las variedades sin límite, la suavidad implica trivialmente la suavidad débil. La prueba de la proposición 3.3 se deriva aparentemente de la proposición I.1.5 de Moerdijk y Reyes Modelos para el análisis infinitesimal suave . En cuanto tenga la oportunidad de ir a la biblioteca a recoger un ejemplar, intentaré editar esta respuesta para dar una prueba para quien esté interesado. Hasta entonces, parece que las respuestas (provisionales) a mis preguntas son:

¿Por qué es esto cierto? ¿Cómo se construye el mapa f? Ver Prop. I.1.5 en la referencia anterior, hasta que tenga tiempo de conseguir una copia y digerirla.

¿Qué pasa con la construcción falla si Y tiene límite? Aparentemente nada -- un resultado análogo (con la suavidad sustituida por la suavidad débil) parece sostenerse para los colectores con límite y los colectores con esquinas.

¿Esta afirmación es cierta independientemente de que $\phi$ es un $C^{\infty}$ -¿morfismo de anillo? Al parecer, $\phi$ sí tiene que ser un $C^{\infty}$ -morfismo de anillo.