Sobre la definición de grupos de homología

Question

He estado tratando de entender lo que la homología de grupos están "hablando", y ahora me estoy preguntando si las siguientes obras como una definición de homología.

Pero primero, un poco de ilustración de lo que es inspirado por: si $D\subset\Bbb C$ es un dominio parece elementos de $H_1(D)$ puede ser interpretado como contornos para integrar más, considera que con la orientación (signo) y la multiplicidad. Si $\oint_\gamma f(z)dz=0$ para todas las funciones de $f\in{\cal O}(D)$ (es decir, holomorphic $f:D\to\Bbb C$), a continuación, tratamos $\gamma$$0$$H_1(D)$. Por lo tanto, los bucles son triviales si se puede contratar a un punto en el dominio $D$. Por otro lado, si un bucle que va alrededor de un pinchazo en un punto en $D$, habrá holomorphic funciones en ${\cal O}(D)$ con un simple poste en el punto y la integración de una función de este tipo sobre el contorno producirá un valor distinto de cero.

Hay algunos más relaciones satisfecho por estos contornos-con-multiplicidad. Si $-\gamma$ es el mismo contorno que $\gamma$ pero atravesado en la dirección opuesta, a continuación, $\oint_{-\gamma} f(z)dz=-\oint_\gamma f(z)dz$ y, por tanto, $\oint_{\gamma+(-\gamma)}f(z)dz=0$ todos los $f$, por lo que podemos concluir $\gamma+(-\gamma)=0$. Y si $\gamma_1$ $\gamma_2$ ir alrededor de dos pinchazos, respectivamente (y no otras) con la misma orientación, a continuación, $\gamma_1+\gamma_2$ es equivalente a cualquier contorno, que se sujeta por tanto a los pinchazos (pero no otras) en la misma dirección. Sin pérdida de generalidad creo que podemos considerar $H_1(D)$ a ser generada por el simple bucles.

Para generalizar a $n$ dimensiones, necesitamos cálculo vectorial y formas diferenciales para reemplazar el análisis complejo. Por lo que yo entiendo, Stokes y de Rham de teoremas decir que los elementos de la homología están orientados los dominios de la integración de formas diferenciales contados con su multiplicidad. (No he profundizado más profundamente de lo que esta comprensión intuitiva, sin embargo.) En ese espíritu, quiero definir mi cadena de grupos de $C_n({\cal M})$ $\Bbb Z$- de las combinaciones lineales de cerrado, compacto, orientado $n$-dimensiones submanifolds, sujeto a las siguientes dos relaciones:

• Si $\cal A, B$ se cruzan sólo en sus límites y $\cal A\cup B$ tiene una constante de orientación, a continuación, identificamos $\cal A\cup B$$A+B$. Creo que un equivalente condición es que si $\cal A\cap B\ne\varnothing$ y tienen el mismo restringida orientación en $\cal A\cap B$$\cal A+B=(A\cup B)+(A\cap B)$.
• Si $\cal C,C'$ son los mismos submanifold pero con orientaciones opuestas, a continuación,$\cal C'=-C$.

Uno puede tomar la costumbre topológico de frontera (en el que la orientación es heredado) y se extienden de forma lineal para obtener los mapas de los límites $\partial_n:C_n({\cal M})\to C_{n-1}({\cal M})$. A continuación, $\partial^2=0$ y podemos definir el grupo de homología $H_n({\cal M})$ así como en los generados por la sin fronteras cadenas modulo límites en la forma habitual ($H_n=\ker(\partial_n)/{\rm img}(\partial_{n+1})$). Funciona como una definición viable?

Al igual que con los contornos en el análisis complejo, parece que podemos homotope cualquier submanifold y todavía representan el mismo elemento de la homología. (Por ejemplo, considere una esfera $\cal A$ alrededor del origen en $\Bbb R^3-0$ con la orientación elegida para realizar el exterior apuntando normales por la derecha de la regla. Decir que homotope esta a una pequeña esfera de $\cal B$ dentro $\Bbb R^3-0$. A continuación, $\cal A-B$ será la orientada a la frontera de algunos orientada a anular la región y, por tanto,$\cal A-B\equiv{\rm 0}~\Rightarrow A=B$$H_2(\Bbb R^3-0)$.

Si ponemos un buen CW compleja estructura en $\cal M$, se siente como cualquier submanifold (generador) en la cadena del grupo $C_n({\cal M})$ puede ser homotoped a un compuesto enteramente de las células orientadas desde el complejo. Por lo tanto, usando CW complejos debe representar un "discretización" de la definición que le estoy enviando la que permite que el finito cálculos para ser humanamente llevado a cabo. Moreever, cada compacto colector puede ser triangular, por lo que parece también podemos relacionarlo con homología singular.

Así que, de todos modos, repito mi pregunta: ¿este trabajo como una definición viable de homología? Esta idea tiene un nombre? Parece más natural que otras definiciones? Hay obstáculos técnicos al relativo a definiciones usuales de la homología? Si esto no funciona, ¿por qué no?

Una idea que se ofrecen en el chat es que no puede ser capaz de homotope (o de isótopos, lo que puede ser necesario para hacer que las cosas funcionen fuera) dos nudos en una forma que puede ser descompuesto en sus anillos (si sus anillos, obligado el antes/después de la submanifolds, que los haría todos iguales en $H_1$). La moraleja de que la lección es que debemos necesidad de introducir una tercera relación en $C_n({\cal M})$, que isotópica submanifolds son iguales.

Answer 1

Se ejecuta en dos problemas técnicos con este intento de describir la homología, pero no son "evidentes" de los problemas. (De hecho, su descripción es, al menos parcialmente, lo que motivó a Poincaré para definir la homología en el primer lugar.)

La primera es la restricción a submanifolds. Hay demasiados detalles técnicos acerca de la incrustación de submanifolds: ¿cuántos submanifolds hay, de corte submanifolds en trozos, etc, etc. Homología en su lugar habla a menudo acerca de los colectores con un mapa a su colector de lugar, que se puede considerar como un parametrizadas objeto que se puede hacer una integral. (Estos son los detalles técnicos que también son parte de la multivariante de integración, relación con la definición de una integral sobre un submanifold sin elegir una parametrización.) Más concretamente es este problema: la determinación de cuando un colector es un límite de la otra. Puede ser un límite, pero se puede garantizar que la cosa es un límite de la voluntad de ser muy bien integrada?

La segunda es que la homología sólo corresponde a los colectores que está construido a partir de piezas sencillas ("triangulable" colectores), y sólo en cuanto a los dos como equivalente si son de la frontera común de algo triangulable, y las triangulaciones son compatibles, y... Básicamente todo lo que tenga que ver con triangulaciones resultó ser muy desordenado.

Los matemáticos tienen una definición de algo como la homología definida en términos de los colectores. Se llama bordism, y hay una natural mapa de bordism a la homología de que no es un isomorfismo. En particular, hay espacios con homología con elementos que no vienen de cualquier colector a todos, debido a la negativa de la solución a la Steenrod problema.

Answer 2

Este es un suplemento de Tyler respuesta (debe ser un comentario, pero es demasiado largo).

Como Tyler menciona, el Hauptvertmutung (cualquiera de los dos triangulaciones tienen en común un refinamiento) es falsa para espacios topológicos con dimensión mayor que 2. De esta forma se rompe la frase "simplicial (co)homología es una aproximación orientada a cobordism (co)homología de la teoría en todas las dimensiones." Sin embargo, usted está en algo, así que me imaginé que vale la pena mencionar un par de cosas relacionadas.

Esta es una interpretación geométrica de la multiplicación de singular cohomology clases (a partir de la Princeton Compañero):

Deje $S$ $T$ ser cerrado orientado submanifolds de X, de codimension yo y j respectivamente. Moviendo $S$ ligeramente (que no cambia su clase en $H^i(X)$) podemos asumir que $S$ $T$ se cruzan transversalmente, lo que implica que la intersección de a $S$ $T$ es un suave submanifold de codimension $i+j$$X$. A continuación, el producto de el cohomology clases de $[S]$ $[T]$ es simplemente la cohomology de clase de su intersección $[S \cap T] \in H^{i+j}(X)$.

Esta falla cuando no podemos asumir que $S$ $T$ cruzan transversalmente, en cuyo caso podemos utilizar Intersección de la (co)homología que permite la "perversidad" (es decir, en qué medida los ciclos están autorizados a desviarse de transversalidad).

Sin embargo, las operaciones de la mayoría de los cohomology teorías vienen de los más ricos y diferentes geométrica (o algebraica) de las estructuras. Incluso hay cohomology teorías para las que no se conoce la noción de cocycles (por ejemplo, elíptica cohomology teorías, tmf)!

Si geométricas interpretaciones de la (co)homología son interesantes para usted, le recomiendo que empiece por llegar a conocer y amar característica través de clases de Milnor y Stasheff.

Las relaciones que se quiere imponer en sus combinaciones de cerrado compacto orientado n-dimensional submanifolds también me recuerdan a los de álgebra de cadenas (donde la unión de n-simplexes es una n-cadena). La suma de $C_1 + C_2$ se define como la k-cadena de la k-simplexes en $C_1$ o $C_2$, pero no tanto, y esta suma es conmutativa, asociativa, y para cada k de la cadena de $C$ hay un único k-cadena de $D$ tal que $C + D = \emptyset$.

Como una separación de nota, parece que también podría estar avanzando hacia accidentalmente volver a derivar el índice de Poincaré teorema, que sin duda tiene una de Stokes-sabor a ti (para que se conecte el comportamiento de un campo de vectores en el interior de una célula con su comportamiento en el límite). En primer lugar, elija un círculo $\gamma$ sobre el punto crítico de la $P$, de modo que dentro de ella y en $\gamma$ el campo de vectores $V$ desaparece excepto en $P$. El índice de $V$$P$, denotado $I(P)$, se define como la liquidación número$W(\gamma)$$V$$\gamma$.

Deje $V$ ser un continuo campo de vectores. Deja D ser una celda y $\gamma$ de sus límites. Suponiendo que $V$ no es cero en $\gamma$, entonces:

$$W(\gamma) = I(P_1) + ... + I(P_n)$$

donde $P_1, P_2, ..., P_n$ son los puntos críticos de $V$ dentro $D$.

Answer 3

El interrogador es el adecuado para identificar una de las inspiraciones para la homología como la que proviene de la integración de la teoría; esto se acentúa en el artículo de S. Lefschetz en el libro "Historia de la Topología", editado I. M. de Santiago. Parece también que los primeros artículos sobre Betti nubers de torsión y los coeficientes quería tomar "ciclos modulo límites", pero no estaba tan clara sobre el significado de esos. Fue Poincaré, quien introdujo la noción de formal sumas de orientado simplices que condujo a la ecuación de $\partial \partial=0$, lo que todos sabemos y el amor. La idea de formal sumas seguramente venía de la integración de la teoría de donde era conveniente escribir $$\int_C fdz + \int _D f dz = \int_{C+D} f dz.$$

Este formales suma contrastaba con el explícito (parcial) de la composición de los caminos que condujeron a la introducción de Poincaré el grupo fundamental de la punta de su espacio. Algebraicas topologists en el siglo 20 fueron con la esperanza de dimensiones superiores nonabelian versión de el grupo fundamental, pero estos se vieron frustradas por la aceptación de la abelian mayor homotopy grupos de la punta de su espacio. Este abelian propiedad se puede explicar diciendo que un objeto de grupo en la categoría de grupos, es un grupo abelian.

La situación cambia si se considera groupoids: groupoid objetos en la categoría de grupos son más complicados que los grupos, y son equivalentes a cruzado módulos.

Esto ha llevado a la teoría dada una exposición en el libro Nonabelian Topología Algebraica: filtrada espacios, cruzó complejos, cúbica homotopy groupoids (EMS Tratados en Matemáticas vol 15, 2011). La pregunta se refiere a un CW-, es decir, de células, de la descomposición de un colector: esto da un caso especial de filtrado espacial, lo que podría también provenir de una handlebody de descomposición. Para un filtrado del espacio $X_*$ puede uno dar un homotopical definición de un complejo cruzado $\Pi X_*$, una especie de complejo de cadena con los operadores que se nonabelian dimensiones de $\leqslant 2$ e incluye información sobre la fundamental groupoid. Una clave para los resultados principales del libro es el uso de composiciones de mayores dimensiones de los cubos para demostrar un teorema de Seifert-van Kampen tipo que permiten calcular $\Pi X_*$ en términos de colimits y así demostrar que $\Pi X_*$ para un CW-filtración $X_*$ es "libre en las células de $X_*$". Para volver a su situación, si todos los submanifolds $M$ se permite un "conectado" filtración $M_*$, por ejemplo, a partir de una celda de descomposición, entonces el mismo SvK teorema podría determinar $\Pi X_*$ en términos de la $\Pi M_*$. La interpretación de este, y la investigación de las condiciones necesarias, parecería ser un programa de investigación, pero tiene posibilidades!

El objetivo de poner este material junto a un libro era permitir más fácilmente a ser evaluados, por ejemplo en cuanto a si se ayudó a entender "lo que homología está hablando", y también para dar una exposición de la relación básica homotopical resultados, tales como la Relativa Hurewicz Teorema, sin invocar a la "formal sumas", es decir, $\mathbb Z$- combinaciones lineales, de la estándar de la teoría de la homología. Ideas clave provino de J. H. C. Whitehead, 1949 papel "Combinatoria Homotopy II", en particular, un resultado que hay en la libre cruzado módulos.

El cúbico métodos son útiles para la subdivisión de los argumentos, y también para discutir homotopies y productos.