¿Por qué los términos de orden cero en la teoría de perturbaciones degeneradas son los estados propios del hamiltoniano perturbador?

Question

Llevo bastante tiempo intentando encontrar una respuesta satisfactoria a esto, pero aún no lo he conseguido. En la teoría de la perturbación, con un parámetro pequeño $\lambda$ expandimos el estado propio como

$$| E \rangle=| E^{(0)} \rangle + \lambda | b \rangle + ...$$

Dónde $| E^{(0)} \rangle$ es un estado propio del Hamiltoniano no perturbado. El problema es que cuando hay degeneración, hay una elección de estos estados propios. Sé que la respuesta es que se eligen los vectores propios del hamiltoniano perturbado, pero mi pregunta es por qué.

Answer 1

Como no puedo comentar (se necesita reputación>50), pongo mi comentario aquí, ya que esto podría considerarse una respuesta también.

La respuesta y la foto de DanielSank es muy bonita, así que sólo añadir lo que creo que es una respuesta satisfactoria también, sólo en palabras.

En la página 139 de mi libro de texto favorito:-) La explicación está al principio del párrafo "Ecuación secular".

"Denotamos por $\psi_n^{(0)}$ , $\psi_{n'}^{(0)},\dots$ las funciones propias que pertenecen al mismo valor propio $E_n^{(0)}$ de la energía. La elección de estas funciones no es, como sabemos, única; en lugar de ellas podemos elegir cualquier $s$ (donde $s$ es el grado de degeneración del nivel $E_n^{(0)}$ ) combinaciones lineales independientes de estas funciones. Sin embargo, la elección deja de ser arbitraria si sometemos las funciones de onda al requisito de que el cambio en ellas bajo la acción de la pequeña perturbación aplicada sea pequeño. ... Los coeficientes de estas combinaciones se determinan, junto con las correcciones en la primera aproximación a los valores propios, como sigue".

Entonces resulta que los coeficientes se obtienen como solución de la ecuación característica (secular) y que tales vectores propios son los vectores propios del hamiltoniano perturbado.

Answer 2

Esta es realmente una gran pregunta.

Observe la figura adjunta. El círculo indica un subespacio degenerado de 2 dimensiones en $\lambda=0$ .

En rojo indicamos dos posibles estados base para el subespacio. En azul mostramos otra posible elección de estados base.

Ahora mira las líneas verdes curvas, estos son los estados como evolucionan para $\lambda > 0$ . Las curvas verdes no conectan con los estados rojos en $\lambda=0$ . La serie de perturbación es una serie de Taylor, que es una función continua (es un polinomio), por lo que no hay manera de hacer que la serie pase de los estados rojos a $\lambda=0$ a los estados verdes para $\lambda > 0$ .

Evidentemente, tenemos que empezar la serie de perturbaciones en $\lambda=0$ con los estados azules, porque esos conectan con los verdes cuando $\lambda > 0$ . Los estados verdes son, por definición, estados propios del Hamiltoniano perturbado, por lo que los estados azules en $\lambda=0$ deben ser también estados propios del Hamiltoniano perturbado.

Estados degenerados de la teoría de la perturbación. Mostramos los estados como funciones del parámetro de perturbación $\lambda$ (verde), y varias opciones de los estados no perturbados (azul, rojo).