Transformación binomial y funciones de generación ordinarias

Question

Yo tenía un par de dudas sobre el siguiente Teorema de Wikipedia del Binomio Transformar la página, que no he sido capaz de resolver mediante la búsqueda de información a través de Internet:

Vamos

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$

Y

$$g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n$$

Donde $s_n$ es el binomio de transformación de $a_n$. A continuación,

$$g(x)=\frac{1}{1-x} f \left ( \frac{-x}{1-x} \right )$$

1ª Pregunta (ya resuelto): Después de algún tiempo buscando información sobre ella en Internet, no he encontrado ninguna prueba de este Teorema, y no tengo acceso a todos los de la Wikipedia sugiere la bibliografía. Donde puedo encontrar esta prueba?

2ª Pregunta: ¿que formula todavía espera para:

$$g(1)=\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{1-x} f \left ( \frac{-x}{1-x} \right )$$

Como estamos trabajando con las Funciones de Generación, no sé si la original fórmula es válida para $|x| \le 1$ o sólo para $|x| <1$.

3ª Pregunta: estoy teniendo algunos problemas a la hora de trabajar con esta serie:

Vamos

$$a_n= \frac{B_{n+1}}{8^n (n+1)!}$$

Así que

$$s_n= \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} \frac{B_{k+1}}{8^k (k+1)!}$$

Y dejad $h(x)$ $i(x)$ se define como $f(x)$$g(x)$, pero para estas secuencias específicas de arriba. A continuación,

$$h(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{B_{n+1}}{ (n+1)!}{\left ( \frac{x}{8} \right )}^n = \frac{8}{x} \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{n}}{ (n)!}{\left ( \frac{x}{8} \right )}^n = \frac{8}{x} \left ( \sum_{n=0}^\infty \frac{B_{n}}{ (n)!}{\left ( \frac{x}{8} \right )}^n -1 \right )$$

Por la generación de la función de los Números de Bernoulli (y $B_1=\frac{1}{2}$),

$$ h(x)= \frac{8}{x} \left ( \frac{\frac{x}{8}}{1-e^{-\frac{x}{8}}}-1 \right ) =\frac{1}{1-e^{-\frac{x}{8}}} - \frac{8}{x}$$

Entonces, como

$$i(x)=\frac{1}{1-x} f \left ( \frac{-x}{1-x} \right )$$

Tenemos que:

$$i(x)=\frac{1}{1-x} \left ( \frac{1}{1-e^{-\frac{\frac{-x}{1-x}}{8}}} - \frac{8}{\frac{-x}{1-x}} \right )$$

$$i(x)= \frac{1}{(1-x)(1-e^{\frac{x}{8(1-x)}})} + \frac{8}{x}$$

Sin embargo, la serie original de $i(1)$ diverge sino $$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{(1-x)(1-e^{\frac{x}{8(1-x)}})} + \frac{8}{x} = 8$$

También tengo algunos problemas a la hora de elegir algunos de los valores de $x$ cerca de $1$.

Suponiendo que la respuesta a la 2ª pregunta es sí, ¿hay algún error en mi trabajo? ¿Hay algún concepto que estoy missunderstanding?

Gracias.

Edit: para aclarar un poco lo que quiero aquí. La intuición me dice que, para algunos, $x<1$ muy cerca de $1$, la fórmula anterior debe ser válida (mientras que, por otro lado, algunos pequeños cálculos dar evidencia numérica que no lo es). Por otra parte, el siguiente límite debe existir:

$$\lim_{x \to 1^-} i(x)-\frac{1}{1-x} h \left ( \frac{-x}{1-x} \right ) = 0 $$

Mientras, sustituyendo $\frac{1}{1-x} h \left ( \frac{-x}{1-x} \right )$ $\frac{1}{(1-x)(1-e^{\frac{x}{8(1-x)}})} + \frac{8}{x}$ obtenido antes, nos gent que el límite no existe, ya que $i(1)$ se bifurca y el sustraendo es igual a 8.

Answer 1

Con respecto a la OPs primera pregunta:

La transformación se conoce como Euler transformación de una serie \begin{align*} A(t)=\sum_{n= 0}^\infty a_nt^n\qquad\qquad \frac{1}{1-t}A\left(\frac{-t}{1-t}\right)=\sum_{n= 0}^\infty \left(\sum_{j=0}^m\binom{m}{j}(-1)^ja_j\right)t^n \end{align*} Esta transformación de la fórmula, junto con una prueba se puede encontrar por ejemplo, en el Número Armónico de las Identidades a Través de Euler transformar por K. N. Boyadzhiev. Ver observación 2 con $\lambda=1, \mu=-1$.

Sugerencia: Esta respuesta podría ser útil.

Answer 2

Hablando en términos de Formal de la Serie (como ya se ha señalado en otra respuesta) es fácil, a partir de lo conocido de Alimentación de la serie $$ {{z^n } \over {\left( {1 - z} \right)^{n + 1} }} = \sum\limits_{0\, \le \,k} {\left( \matriz{ k \cr n \cr} \right)} \;z^k \quad {\rm entero n} \ge {\rm 0 } $$ para demostrar que $$ \eqalign{ & \sum\limits_{0\, \le \,n} {a_ {\n} {{z^n } \over {\left( {1 - z} \right)^{n + 1} }}} = {1 \más de {\left( {1 - z} \right)}}\sum\limits_{0\, \le \,n} {a_ {\n} \left( {{z \over {1 - z}}} \right)^n } = {1 \over {\left( {1 - z} \right)}}f\left( {{z \over {1 - z}}} \right) = \cr & = \sum\limits_{0\, \le \,n} {a_ {\n} \sum\limits_{0\, \le \,k} {\left( \matriz{ k \cr n \cr} \right)} \;z^k } = \sum\limits_{0\, \le \,k} {\left( {\sum\limits_{0\, \le \,n} {\left( \matriz{ k \cr n \cr} \right)a_ {\n} } } \right)\;z^k } = \cr & = \sum\limits_{0\, \le \,k} {s_{\,k} \;z^k } = g(z) \cr} $$

y las variaciones más por la introducción de $(-1)^n$ $(-1)^{n-k}$

Answer 3

La fórmula es $g(x) = f(-x/(1-x))/(1-x)$ en una convención. Para responder a tu 1ª pregunta, la prueba depende esencialmente de aplicar el binomio de expansión a $f(x)$ usando la fórmula $$\left(\frac{1}{1-x}\right)\left(\frac{-x}{1-x}\right)^n = (-x)^n\left(1 + {n +1 \choose 1}x+{n+2 \choose 2}x^2+\dots\right). $$ Para responder a tu 2ª pregunta, en el caso de incumplimiento de funciones de generación es que son "formales" de potencia de la serie y no hay necesidad de converger en cualquier lugar de esperar en $x=0$, por lo que no se puede sacar conclusiones acerca de la $g(1)$ sin más investigación.

Para su 3ra pregunta, se encontró un caso en el que $g(1)$ a medida que la serie no converge, y el $g(x)$ expresión se extiende hacia el infinito como $x\to 1^-$. Para poner esto en perspectiva, considere la posibilidad de $f(x)=x$ donde $g(x)=-x/(1-x)^2$ $g(x)\to -\infty$ $x\to 1$ y la serie no converge.