Se me ocurrió hoy que todos los tambores en los que podía pensar tenían cabezas circulares. Entonces se me ocurrió que tal vez un tambor elíptico produciría diferentes tonos. ¿Los sonidos producidos por un tambor elíptico no son agradables? Y como una pregunta más general, ¿cómo repercute un tambor general? ¿Cuáles son las ecuaciones de un tambor descrito por una curva polar determinada, sus ondas estacionarias?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
kiwi
Puntos
31
Sospecho que la respuesta real es algo aburrido como la facilidad de fabricación y la optimización.
Sin embargo, se pueden calcular las soluciones de la ecuación de onda en coordenadas elípticas, realizar una separación de variables y terminar con un sistema de ecuaciones diferenciales de admisión Mathieu funciones como soluciones. El valor de límite problema puede ser resuelto relativamente directa [1-4].
(Siguiente [3]) En coordenadas elípticas $\xi,\eta$, $x=f \cosh(\xi)\cos(\eta), y=f\sinh(\xi)\sin(\eta)$ donde $f$ es la distancia desde el origen a los focos $(\pm f,0)$. $0\leq \xi < \infty$ es el "radial" coordinar constante en elipses y $0\leq \eta < 2\pi$ es el "polar" coordinar constante en hipérbolas. Las soluciones de la ecuación de onda $$\psi(\xi,\eta,t)=T(t)R(\xi)\Theta(\eta)$$ split into the time part $$T''(t)+k^2\nu^2T=0,$$ and the two spatial parts $$R''(\xi)-(\alpha-2q\cosh(2\xi))R(\xi)=0$$ (modified Mathieu equation) and $$\Theta''(\eta)+(\alpha-2q\cos(2\eta))\Theta(\eta)=0$$ (ordinary Mathieu equation) where $-k^2, \alpha$ are the constants of separation and $q=k^2f^2/4$.
Una interesante diferencia de circular de las membranas es que para cada modo hay un par e impar modo, y oscilan con diferentes frecuencias [3]. Así que si usted estimular uno de los modos es probable producir una mezcla de las dos frecuencias que probablemente no tienen una buena relación racional, y por lo tanto no suena muy armonioso. Cambiando la excentricidad que puede hacerse para que se ajuste [4], pero sospecho que esto no va a hacer que todo el espectro armónico.
[1] E. Mathieu, Me moire sur le mouvement vibratoire d'une a la membrana de forme elliptique, J. Math. Pures Appl., vol. 13, pp 137-203, 1868. http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1868_2_13_A8_0.pdf
[2] http://booksite.elsevier.com/9780123846549/Chap_Mathieu.pdf
