La serie de suma ($\Sigma$) es a Integral ($\int$) ... como serie del producto ($\Pi$) es a ??

Question

Si la Suma de la serie ($\Sigma$) es una Integral ($\int$)... hay un concepto correspondiente para una serie de Productos ($\Pi$)?

Suma de la serie ($\Sigma$) es la Integral de ($\int$)... como Producto de la serie ( $\Pi$ )??

Esta sería la multiplicación de todos los puntos de una función en conjunto para llegar a un resultado. Si hay puntos donde la función es cero, entonces la ecuación sería igual a cero. Con la idea de seguir a lo largo de la curva similar a la de una Integral.

Esta pregunta está relacionada con la otra pregunta que me estoy preguntando sobre un plano de la onda de la intersección con la curva: Intersección del plano de la onda de superficie y una curva

Answer 1

Si lo desea, puede escribir un producto$\prod a_i$ con términos positivos$a_i>0$ as$$e^{\sum \log(a_i)} .$ $

Ahora, por su propia analogía, esto es sólo la exponenciación de una integral del$\log$.

Answer 2

$$\log\left(\prod f(x)\right)=\sum\log f(x) \implies \prod f(x)=\exp\left(\sum f(x) \right)$ $ Ahora vemos que, en cierto sentido,$\prod \to \exp(\int)$

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Esto es formalizado por el llamado " Producto Integral " donde
$$\prod_a^b f(x) ^{dx} =\lim_{\Delta x \to 0} \prod f(x_i)^{\Delta x} = \exp\left(\int_a^b \log f(x)\right) dx$ $ Por lo tanto, nada fundamentalmente nuevo es necesario

Answer 3

Usted puede obtener de un producto en una suma través de los logaritmos: $$ \log\left(\prod_{n=1}^{N} a_n\right) = \sum_{n=1}^{N} \log(a_n). $$ Un infinito producto se dice que converge si y sólo si la suma correspondiente converge, en cuyo caso $$ \prod_{n=1}^{\infty} a_n = \exp\left( \sum_{n=1}^{\infty} \log(a_n) \right).$$ Desde una secuencia $a_n$ es "sólo" una función de los números naturales, es decir,$a_n = a(n)$, podríamos sustituir los números naturales con un conjunto arbitrario $X$, y reemplace$a_n = a(n)$, con una función de $f(x)$. Si usted es muy cuidadoso acerca de la convergencia, usted podría terminar con algo como $$ \prod_{x\in X} f(x) = \exp\left( \int_{X} \log(f(x) \right).$$ Ya que el producto se reduce a un tipo de integral, no estoy seguro de que usted necesita una nueva notación o definición, por lo tanto la analogía $\sum:\int :: \prod:?$ no parece requerir una respuesta definitiva.