Dado$a+b+c=0$ encuentra el valor de$\big(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}\big)\big(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\big)$

Question

Ya tengo una solución, que es la correcta, se $9$. Me pregunto si hay un método más sencillo.

Primero acabamos de ampliar y encontrar

$3+\frac{b-c}{a}\big(\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\big)+\frac{c-a}{b}\big(\frac{a}{b-c}+\frac{c}{a-b}\big)+\frac{a-b}{c}\big(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\big)$

Cada uno de estos "todavía no es un número" términos puede ser ampliado para dar

$\frac{b-c}{a}\big(\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\big) = \frac{2(c-b)^2}{(c-a)(a-b)}$

$\frac{c-a}{b}\big(\frac{a}{b-c}\big)= \frac{2(a-c)^2}{(c-a)(a-b)}$

$\frac{a-b}{c}\big(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\big) = \frac{2(b-a)^2}{(b-c)(c-a)}$

La adición de cada uno de estos términos juntos y factorizando los dos nos encontramos con que estos son iguales

$2\frac{3(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=6$

Así que nuestra total $9$.

Este es el problema 160 de La URSS olimpiada problema libro por Shklarsky, Chentzov y Yaglom, dan la respuesta y $9$ es correcta. Obviamente ellos no dan el método.

Answer 1

$$c=-a-b$$ En la expresión dada obtendremos dos factores$$\frac{b+a+b}{a}+\frac{-2a-b}{b}+\frac{a-b}{-a-b}=-\frac{(a-b) (2 a+b) (a+2 b)}{a b (a+b)}$ $ y el otro factor$$\frac{a}{b+a+b}+\frac{b}{-2a-b}+\frac{-a-b}{a-b}=-\frac{9 a b (a+b)}{(a-b) (2 a+b) (a+2 b)}$ $ poniendo Cosas juntas obtenemos$$9$$ if the denominators are $ \ ne 0 $

Answer 2

$$\sum_{cyc}\frac{b-c}{a}=\frac{\sum\limits_{cyc}(a^2b-a^2c)}{abc}=\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{abc}$ $ Y$$\sum_{cyc}\frac{a}{b-c}=\frac{\sum\limits_{cyc}a(a-b)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=$ $$$=\frac{\sum\limits_{cyc}(a^2c-a^3-abc+a^2b)}{-(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{\sum\limits_{cyc}(a^2c+a^2b+abc-a^3+abc-3abc)}{-(a-b)(a-c)(b-c)}=$ $$$=\frac{9abc}{(a-b)(a-c)(b-c)},$ $ que da la respuesta:$9$.

Answer 3

Observe que$(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)=a^3+b^3+c^3-3abc$ so$a^3+b^3+c^3=3abc$. Ahora \begin{eqnarray*} &&\left( \frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c} \right) \left( \frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b} \right)\\ &=&3+\frac{a}{b-c}\left(\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}\right)+ \frac{b}{c-a}\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}\right)+ \frac{c}{a-b}\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\\ &=&3+\frac{a}{b-c}\frac{c^2-ac+bc-b^2}{cb}+.+.\\ &=&3+\frac{a}{b-c}\frac{(a-b-c)(b-c)}{cb}+.+.\\ &=&3+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}=\color{red}{9}. \end {eqnarray *}

Answer 4

Es una pregunta olímpica. De lo contrario, seleccionar números adecuados hará:$$a=1,b=2,c=-3$ $$$S=\left(5-2+\frac13 \right)\left(\frac15 -\frac12+3\right)=\frac{10}{3}\cdot \frac{27}{10}=9.$ $